Векторы

Заказать работу

Упорядоченную совокупность ( x1, x2, ... , xn ) n вещественных чисел называют n-мерным вектором, а числа xi ( i = ) - компонентами, или координатами, вектора.

Если, например, некоторый автомобильный завод должен выпустить в смену 50 легковых автомобилей, 100 грузовых, 10 автобусов, 50 комплектов запчастей для легковых автомобилей и 150 комплектов для грузовых автомобилей и автобусов, то производственную программу этого завода можно записать в виде вектора (50, 100, 10, 50, 150), имеющего пять компонент. Векторы обозначают жирными строчными буквами или буквами с чертой или стрелкой наверху. Два вектора называются равными, если они имеют одинаковое число компонент и их соответствующие компоненты равны.

Компоненты вектора нельзя менять местами, например, (3, 2, 5, 0, 1) ≠ (2, 3, 5, 0, 1).

Произведением вектора x = (x1, x2 , ... ,xn) на действительное число λ называется вектор x = ( λx1, λx2, ... , λxn).

Суммой векторов x = (x1, x2, ... ,xn) и y = (y1, y2 , ... ,yn) называется вектор
x + y = (x1 + y1, x2 + y2, ... , xn + yn).

N-мерное векторное пространство Rn определяется как множество всех n-мерных векторов, для которых определены операции умножения на действительные числа и сложение.

Экономическая иллюстрация n-мерного векторного пространства: пространство благ (товаров). Под товаром мы будем понимать некоторое благо или услугу, поступившие в продажу в определенное время в определенном месте. Предположим, что существует конечное число наличных товаров n; количества каждого из них, приобретенные потребителем, характеризуются набором товаров

x = (x1, x2, ..., xn),

где через xi обозначается количество i-го блага, приобретенного потребителем. Будем считать, что все товары обладают свойством произвольной делимости, так что может быть куплено любое неотрицательное количество каждого из них. Тогда все возможные наборы товаров являются векторами пространства товаров
C = { x = (x1, x2, ... , xn)| xi ≥ 0, i = }.

Система e1, e2, ... , em n-мерных векторов называется линейно зависимой, если найдутся такие числа λ1, λ2, ... , λm, из которых хотя бы одно отлично от нуля, что выполняется равенство λ1e1 + λ2e2 + ... + λmem = 0;

в противном случае данная система векторов называется линейно независимой, то есть указанное равенство возможно лишь в случае, когда все λ1 = λ2 = ... = λm = 0. Геометрический смысл линейной зависимости векторов в R3, интерпретируемых как направленные отрезки, поясняют следующие теоремы.

Теорема 1. Система, состоящая из одного вектора, линейно зависима тогда и только тогда, когда этот вектор нулевой.

Теорема 2. Для того, чтобы два вектора были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы они были коллинеарны.

Теорема 3. Для того, чтобы три вектора были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы они были компланарны.

Тройка некомпланарных векторов a, b, c называется правой, если наблюдателю из их общего начала обход концов векторов a, b, c в указанном порядке кажется совершающимся по часовой стрелке. B противном случае a, b, c - левая тройка. Все правые (или левые) тройки векторов называются одинаково ориентированными.

Тройка e1, e2, e3 некомпланарных векторов в R3 называется базисом, а сами векторы e1, e2, e3 - базисными. Любой вектор a может быть единственным образом разложен по базисным векторам, то есть представлен в виде

а = x1 e1 + x2 e2 + x3 e3, (1.1)

числа x1, x2, x3 в разложении (1.1) называются координатами вектора a в базисе e1, e2, e3 и обозначаются a(x1, x2, x3). Если векторы e1, e2, e3 попарно перпендикулярны и длина каждого из них равна единице, то базис называется ортонормированным, а координаты x1, x2, x3 - прямоугольными. Базисные векторы ортонормированного базиса будем обозначать i, j, k.

Будем предполагать, что в пространстве R3 выбрана правая система декартовых прямоугольных координат {0, i, j, k}.

Векторным произведением вектора а на вектор b называется вектор c, который определяется следующими тремя условиями:

1. Длина вектора c численно равна площади параллелограмма, построенного на векторах a и b, т. е. |c| = |a||b| sin (a^b).

2. Вектор c перпендикулярен к каждому из векторов a и b.

3. Векторы a, b и c, взятые в указанном порядке, образуют правую тройку.

Для векторного произведения c вводится обозначение c = [ab] или c = a x b.

Если векторы a и b коллинеарны, то sin(a^b) = 0 и [ab] = 0, в частности, [aa] = 0. Векторные произведения ортов: [ij] = k, [jk] = i, [ki] = j.

Если векторы a и b заданы в базисе i, j, k координатами a(a1, a2, a3), b(b1, b2, b3), то

Если векторное произведение двух векторов а и b скалярно умножается на третий вектор c, то такое произведение трех векторов называется смешанным произведением и обозначается символом a b c.

Если векторы a, b и c в базисе i, j, k заданы своими координатами a(a1, a2, a3),
b(b1, b2, b3), c(c1, c2, c3), то

Смешанное произведение имеет простое геометрическое толкование - это скаляр, по абсолютной величине равный объему параллелепипеда, построенного на трех данных векторах.

Если векторы образуют правую тройку, то их смешанное произведение есть число положительное, равное указанному объему; если же тройка

a, b, c - левая, то abc < 0 и V = - abc, следовательно V = |abc| .

Координаты векторов, встречающиеся в задачах первой главы, предполагаются заданными относительно правого ортонормированного базиса. Единичный вектор, сонаправленный вектору а, обозначается символом а0. Символом r=ОМ обозначается радиус-вектор точки М, символами а, АВ или |а| , |АВ| обозначаются модули векторов а и АВ.

Список литературы

Для подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://www.mathematica.ru

Другие материалы

  • Метод векторів та його застосування
  • ... . 9), потрібно з довільної точки O відкласти вектор =, з його кінця – вектор =,…,= (початок кожного наступного вектора-доданка є кінцем попереднього). Вектор = буде сумою даних векторів. Віднімання векторів Операція віднімання векторів вводиться як протилежна до додавання. Означення. Різницею ...

  • Теория вектора
  • ... называется всякий параллельный перенос”. Это определение логически безупречно, и на его основе может быть построена вся теория действий над векторами и развиты приложения этой теории. Однако это определение, несмотря на его полную конкретность , нас здесь также не может удовлетворить, так как ...

  • Оценки волновых векторов, задача согласования и оптимизация систем дипольных решеток
  • ... по всевозможным допустимым матрицам P. Оценка максимального правдоподобия для одного волнового вектора приведена в []. Выражение (8) является обобщением оценки максимального правдоподобия волновых векторов D-источников излучения. 3. Оптимизация систем дипольных решеток Будем оптимизировать СДР ...

  • Власні значення і власні вектори матриці
  • ... і: Звідси Або Після нормування остаточно отримаємо: 2.6      приклади задач, що зводяться до відшукання власних значень та власних векторів матриці Задача 1 Дослідимо тривісне напруження стану елемента тіла, представленого на малюнку ...

  • Лінійна залежність n–мірних векторів. Програма
  • ... і. Висновки В даній курсовій роботі була розглянута важлива проблема визначення лінійної залежності та незалежності систем мірних векторів в просторі та запропонований програмний код на мові програмування Turbo Pascal для її розв’язку. Дана детальна теоретична характеристика цього питання та ...

  • Геометрические векторы
  • ... величины. В дальнейшем эти отрезки и будем называть геометрическими векторами. При изображении вектора одна точка, ограничивающая вектор, называется началом, а вторая - концом вектора. В конце вектора ставится стрелка. Для краткой записи вектор можно обозначить с помощью двух букв  (первая ...

  • Собственные вектора и собственные значения линейного оператора
  • ... характеристическое уравнение: |P – λ·E|== λ2-5 λ+4=0 Из квадратного уравнения найдем собственные значения линейного оператора λ1=1, λ2=4. Чтобы найти собственные векторы, решим матричные уравнения: (P – λ1 E) X=0 и (P – λ2 E) X=0 В развернутом виде ...

  • Случайные вектора
  • ... . Задача состоит в том, чтобы по известным функциям , , , , найти функцию  и плотность  распределения вероятностей случайного вектора . Такая задача довольно часто возникает во многих приложениях теории вероятностей. Сравнительно просто найти функцию распределения вероятностей . Действительно, по ...

  • Действия с векторами
  • ... поглощать знания с большим желанием, ведь они пригодятся вам в дальнейшем. Сегодня у нас необычный и очень ответственный урок по теме: «Действия с векторами». Необычный потому-что – это повторительно-обобщающий урок геометрии с применением компьютерных технологий, а ответственный потому, что вам ...

  • План урока геометрии. Тема: векторы в пространстве
  • ... Закрепление Устный опрос Решение задач Цель урока: Вы уже знаете, что такое вектор на плоскости. Сегодня мы познакомимся с таким понятием, как вектор в пространстве. Новый материал Определение: вектором называется отрезок, для которого указано, какой из концов считается ...

  • Вектор переривань та процедура обслуговування переривань
  • ... а можуть приходити з периферійного устаткування (зовнішні переривання). Незалежно від джерела, процедура переривання, описана вище, завжди виконується однаково, як для апаратних, так і для програмних переривань. Велика частина векторів переривань зарезервована для виконання визначених дій; частина ...

  • Розрахунок норм вектору
  • objInf: TGroupBox; matrViev: TStringGrid; vectViev: TStringGrid; itemNomb: TEdit; infLab: TLabel; Button3: TButton; GroupBox2: TGroupBox; Label2: TLabel; vectorRB: TRadioButton; matrixRB: TRadioButton; l4: TLabel; GroupBox3: TGroupBox; Button1: TButton; Button4: TButton; TEST: ...

  • Вычисление характеристических многочленов, собственных значений и собственных векторов
  • ... . Данная функция возвращает собственный вектор дня vi.   Указания по применению программы Данная курсовая работа выполнена на языке программирования Pascal. В курсовую работу входит файл danil.exe. Danil.exe предназначен для нахождения характеристического полинома методом Данилевского. ...

Каталог учебных материалов

Свежие работы в разделе

Наша кнопка

Разместить ссылку на наш сайт можно воспользовавшись следующим кодом:

Контакты

Если у вас возникли какие либо вопросы, обращайтесь на email администратора: admin@kazreferat.info