Қателіктер теориясының негіздері

Узнать стоимость написания работы

Дәріс 1.

Дәріс 1. Тақырыбы: Қателіктер теориясының негіздері. Жуық сандарының қателіктер. Мәнді және дұрыс цифрлары. Қателіктердің негізгі қайнары. Шектік салыстырмалы қателікті есептеу.

Дәріс жоспары:

1. Қателіктер теориясының негіздері. Жуық сандарының қателіктер.

2. Мәнді және дұрыс цифрлары.

3. Қателіктердің негізгі қайнары. Шектік салыстырмалы қателікті есептеу.

Дәріс тезисі:

Абсолютті және салыстырмалы қателіктер. Қателікті бағалауды мыналардың көмегімен көрсетуге болады:

Абсолютті қателіктер; Салыстырмалы қателіктер;

Жуықталған а саны деп атаймыз, егер нақты А санынан біршама өзгешелеу және есептеуде оны ауыстыратын санды.

Егер a<A, онда а саны жуықталған мәнінен жетіспейтін болады. Егер a>A, онда а саны жуықталған мәнінен молдық (по избытку) болады.

А нақты және оның жуықталған а сандарының айырмашылығы қате мен қателіктерден тұрады. Практикалық қызметте қатесіз жұмыс істеу мүмкін емес, сондықтан біз абсолютті қателік үғымын енгіземіз:

(1)

Бірақ бұл жағдайда мұндай жағдайлар көрінеді :

1. А нақты мәні белгілі болсын. Бұл жағдайда абсолюттік қателік (2.1) формуласымен тез табылады.

2. А наұты мәні белгісіз болсын. Бірақ (2.1) формуласымен абсолюттік қателікті табуға болмайды. Бұл жағдайда абсолюттік қателіктердің шекарасы h деген ұғым енгізіледі. Және оны мына формуламен табамыз:

.

Кез келген да абсолютті қателіктің шекарасы бола алады, себебі . Осы абсолютті қателіктің шекарасының екеуінің кішісін аламыз, себебі жуықталған санның жақсы сипаттайды.

Мысалы: санын қарастырайық және санын орнын ауыстыратын санның қателік шекарасын табайық.

Шешімі: көре аламыз. Бұдан және шығады. Басқа жағынан дұрыс екенін көре аламыз. Және бұдан шығады. Яғни абсолюттік қателіктің бағалауы дап мына бағалауды аламыз:.

Аналогиялық түрде қарастырсақ, онда барлық нақты жуыөтауды және жақсы бағалауды табуға болады.

Абсолюттік қателік арқылы жақсы немесе жаман сапа деп өлшеуді айтуға болмайды, яғни өлшеуге бағалау беруге болмайды.

Есептеудің сапасын анықтау үшін абсолюттік қатенің (абсолюттік қателіктің шекарасын) өлшенген шамаға дейінгі қанша үлесін алып жатқанын анықтау керек.

Ол үшін жаңа ұғым – салыстырмалы қателік ұғымын енгізейік. Есептеуде немесе нақты өлшеуге сипаталады.

а жуықталған санның салыстырмалы қателігі деп абсолюттік қателіктің А нақты санның модуліне қатынасын айтамыз:

.

А нақты мәні ереже бойынша белгісіз , ал а санның , онда есептеуде мына формуланы қолданамыз:

(2.2)

Абсолюютік қателіктің шекарасының есебін қолдана отырып мынаны аламыз:

.

Салыстырмалы қателіктің шекарасының а жуықталған санның шамасы деп атаймыз: (2.3)

Салыстырмалы қателіктің шекарасын пайызбен өлшеу түрінде жазуға болады:

(2.4)

Мысалы 2.2: Алма мен қауында өлшеу кезінде (г), и (г) мынадай сәйкесінше нәтижелер берген.Бірінші және екінші жағжайжа абсолюттік қателік 2 г-ге тең. Қай өлшеу кезінде нақты болған?

Шешімі:

немесе 0,8%

немесе

Сонымен, қауында рет өлшегенде нақты болған.

Ескерту: Абсолюттік қателік (абсолюттік қателіктің шекарасы) бір қалыпты өлшеу болып табылады, яғни өлшеудің сол бірліктерінде өлшенеді және ізделінді шама да. Салыстырмалы қателік (салыста Ырмалы қателіктің шекарасы да) дерексіз сандар болып табылады, яғни өлшеудің нәтижесінің бірлігіне тәуелді емес .

Сан мәнді және дұрыс сандар. Сан мәнді сандар түрінде бөлшек сандардың ондықтар түрінде берілген барлық сандарын айтады, яғни нольден өзгеше сандардың біріншісінен бастап кіреді.

Мысалы.

а) санында төрт сан мәнді сандары бар:;

б) санында бес сан мәнді сандары бар: ;

в) санында алты сан мәнді сандары бар: .

Нақты сандарды жазу кезінде нольдер бір жағдай да ғана оң жақта санды мәнді сан, ал басқа жағадайда сан мәнді емес сан болуы мүмкін. Аяғында орналасқан нольдер сан мәнді сан болады, егер олар разрядтардың нақталағын сақтаса.

Мысалы: 102000 саны бірліке дейін нақтылықпен берілсе , онда барлыө оң жақтағы нольдер сан мәнді болады.Егер осы сан жүздікке дейінгі нақтылықпен берлісе, онда ноль жүздік разрядта сан мәнді сан болады.

Сан мәнді сандаржды дұрыс сандар деп атайды, егер санның модулінің қателігі бірден басым болмаса, онда бұл санға сәйкес болады.

Мысал: 2.3:а = 0,03045 = 0,000003

а = 0,030450000 = 0,00000007

Асты сызылған сандар бұл жерде дұрыс сандар болады.

Кейбір жағдайдларда былай айтқан дұрыс, А нақты санның жуықталған а саны n дұрыс белгі, мысалы, А = 35,97 нақты саны үшін а = 36,00 жуықталған саны 3 дұрыс белгі болады, яғни |А-а|=0,03.

Функциялардың қателіктері

Енді абсолютті қателікті а санын деп, ал салыстырмалы қателік – белгілейтін боламыз.

1. Санды қосудағы қателік:.

Абсолюттік қателік:

.

Салыстырмалы қателік:

.

2. Санда алудағы қателік:.

Абсолюттік қателік:

.

Салыстырмалы қателік:

.

3. Санды көбейтудегі қателік: .

Абсолюттік қателік:

.

Салыстырмалы қателік:

.

4. Санды бөлудегі қателігі. .

Абсолюттік қателік:

.

Салыстырмалы қателік:

.

5. Салыстырмалы қателік бір айнымалыға тәуелді болады..

Абсолюттік қателік:

,

.

Салыстырмалы қателік:

.

Аналогиялық түрде функциялар үшін абсолюттік және салыстырмалы қателіктерді бағалау формуласын аламыз, яғни айнымалысына тәуелді болады.

Бақылау сұрақтары:

1. Сандық математика қандай әдістерді меңгереді?

2. Қателіктердің негізгі қайнарын атаңыз?

3. Мәнді цифрға анықтама беріңіз?

4. Дұрыс цифрға анықтама беріңіз?

Д2. Тақырып: Сандарды дөңгелектеу. Есептеуіш операциялар қателіктері. Қателік теориясының кері есебі.

Дәріс жоспары:

1. Сандарды дөңгелектеу.

2. Есептеуіш операциялар қателіктері.

3. Қателік теориясының кері есебі.

Дәріс тезисі:

Сандарды дөңгелектеу. Жақын санның дәлдiгi мәндi сандарға тәуелдi емес, ал дұрыс сандарға тәуелді болады. Көп қате сандардың бар болуы жазуларды өшіруге және есептеу уақыттың ұлғайуына алып келедi. Бұл кемшiлiктердi жою үшiн жуық санды мәндi сандардың кiшi саны бар санмен алмастыруларына жүгінеді. Бұны дөңгелектеу арқылы жүргізуге болады, мысалы, разрядтары сақтап қалу үшін мәндi сандардфң дұрыс емес бөлiгiн жай ғана лақтырып тастау арқылы немесе оларды нөлдерiмен алмастыру арқылы. Дегенмен, ең төменгi қателiктi алу үшiн дөңгелектеудiң арнайы ережелерiн қолданылады.

Дөңгелектеу ережелері:

Егер дөңгелектеу барысында соңғы сақталынған бірліктің азырақ бөлігі алынып тасталса, онда барлық сақталынатын разрядтар санын өзгермейтін етеді. Егер көрсетілген бөліктен көбірек болса – соңғы сақталынатын санды 1 – ге ұлғайтады. Егер алынып тасталған бөлік көрсетілген бөлікке теңбе – тең болса, онда оң сандар ережесі қолданылады – егер ол оң сан болса, соңғы сақталынған санды өзгеріссіз қалдырады және егер ол теріс сан болса, оны 1 – ге ұлғайтады. Мұндай дөңгелектеудің қателігі соңғы тоқтатылған санның ондық разрядты 1/2 бірлігінен аспайды.

Жуық есептеуіштерді орындау барысында мәні бар сандардың мәні аралық нәтижесі дұрыс сандардың 1 немесе 2 еседен аспауы керек. Ақырғы нәтиже дұрыс сандармен салыстырғанда тек қана 1 артық мәнді санға ие бола алады.

Келтірілген ережелер кемістіктерсіз есептеуіштер арқылы керексіз сандардың жазылуынан қашып құтылуға және есептеу уақытты үнемдеп қалуға мүмкіндік береді.

Есептеуіш операциялар қателігі. Бірнеше жуықталған сандардың алгебралық соммасының аболютті қателігі осы сандардың абсолютті қателігінің соммасынан аспайды. Егер

u = ± x1 ± x2 ±...± x n болса,

онда Du = ± D x1 ± Dx2 ±...± Dx n болады,

және ï Du ï£ï D x1ï+ ïDx2ï+...+ï Dx nï болады.

Ақырлы абсолюттік қателік

Du =Dx1 + Dx2 +...+Dxn болады. (1.7)

Бұдан жеке қосылғыштар дәлдігін ұлғайту арқылы, сомманың дәлдігін өзгертуге болмайтындығын көруге болады.

Жуық сандарды қосу ережесі:

– Ондық жазбасы басқаларына қарағанда ертерек айырылатын (үзілетін) қосылғыштарды белгілеу және оны өзгеріссіз қалдыру;

– Бір немесе екі жазба белілерін сақтай отыра, белгіленген (көрсетілген) үлгі бойынша қалған қосылғыштарды дөңгелектеу;

– Барлық сақталынған белгілерді есепке ала отырып, қосуды жүргізу;

– Нәтижені бір белгіге дөңгелектеу.

Жақын жуық сандарды есептеу кезінде дәлдікті жоғалту. Екі жуық санның айырмашылығына қатысты шектi салыстырмалы қателiкті анықтау. u = x1 – x2 болсын. (1.7) қолдана отырып,

Du = Dx1 + Dx2 аламыз.

Шектi салыстырмалы қателiк

d u = D u / A болады, (1.8)

Мұнда А – u айырымының абсолюттiк шамасынның дәл мән.

Егер қысқартулар және есептеуіштер – жуық сандар болса, онда А шектi салыстырмалы қателiкті аз және өте ауқымды ұлғайтады.

Мысалды қарастырайқ.

x1 = 47,132 және x2 = 47,111 бес уақытша белгімен берілген болсын. u = x1 – x2 = 0,021 айырымы.
Dx1 = Dx2 = 0,0005 шекті абсолютті қателіктер. (1.7) бойынша шекті абсолютті салыстырмалы қателік Du= Dx1 + Dx2 = 0,001 тең болады.

Шектi салыстырмалы қателiктер:

d x1 = 0,0005/47,132 » 0,00001;

d x2 = 0,0005/47,111 » 0,00001;

d u= 0,001/0,021 » 0,05 болады.

Айырымның шектi салыстырмалы қателiгі бұл мысалдың ағымдағы берілгендерінің шектi салыстырмалы қателiгінен жуық шамамен 5000 есеге артық.

Бұдан есептеуіштер ережелері туындайды:

– мүмкіншілік бойынша жуық сандардың есептеуінен қашқақтаған жөн;

– Мұндай есептеу қажет болған жағдайда азайғыштар мен азайтқыштарды қордағы сенiмдi таңбалардың жеткiлiктi санымен алуы керек болса.

_ Бірнеше жуық сандар өрнегінің шекті салсыстырмалы қателігін анықтайық.. Бірнеше жуық сандар өрнегінің салыстырмалы қателігі осы сандардың салыстырмалы қателігінің соммасынан аспайды:

d £ d1 + d2 +...+ dn ,

Бұдан өрнектің шекті салыстырмалы қателігі келесідей болады u = x1 x 2...xn :

d u= d x1 + d x2 + ... + d xn, болады, (1.9)

Ал шекті абсолюттік қателігі

Du= ïuï d u болады. (1.10)

Жек жағдайларда k нақты санын х жуық санына көбейту керек

u = kx,

d u= d x,

Du= ï k ïDx болады.

Бұл жағдайда салыстырмалы шекті қателік өзгермейді, ал абсолютті салыстырмалы қателік ïkï рет өседі.

Жуық сандарды көбейту барысындағы практикалық ережелері:

–дәлдігі азырақ өзіндік көбейткіштегі дұрыс сандар мөлшеріне қарағанда, жуық сандардың әрбіреуі бір мәнді санға артығырақ болатындай етіп дөңгелектеу;

– Көбейту нәтижесінде дәлдігі азырақ өзіндік көбейткіштегі дұрыс сандар қанша болса, сонша мәнді сандарды сақтайды.

Жеке u = x/y үшін де (1.9) типінің арақатынасы дұрыс болады, яғни,

du = dx + dy болады.

Егер бөлінгіш пен бөлгіштің кем дегенде m дұрыс саны бар болса, онда шектен тыс салыстырмалы қателік үшін мына ұзындқ қабылдануы мүмкін

d u = , (1.11)

мұнда a және b – сәйкесінше бөлінгіш пен бөлгіштің алғашқы мәнді сандары болып табылады.

Жуық санды m дәрежеге келтіретін болсақ, онда шекті салыстырмалы қателік m есеге өсетін болады. m дәрежелі түбірден құтылу кезінде жуық саннан алу, салыстырмалы қателік m есеге азайады.

Қателікті есептеудің жалпы формуласы.

Егер u = f (x1, x2, ... x n) и ï Dx i ï (i = 1, 2, ...n) аргументтің абсолютті қателігнің дифференциялдық функциясы берілген болса, онда функцияның шекті қателігі

Du = Dxi болады, (1.12)

ал шекті салыстырмалы қателігі

du = Dxi болады. (1.13)

Қателіктер теориясының кері талаптары

Берілген функция қатерігін жүзеге асыруда функция аргументтің қажетті қателіктерін анықтау үшін – практикада жиі кері есепті шешуге тура келеді. Берілген функция қателігін аргументтер қателігінң түрлі сәйкестіктері арқылы жүргізуге болғандықтан, бұл талап дұрыс емес болады.

Есепті шешу үшін қосымша шарттарды қолданады. Түрлі әсер етулер қағидасы олардың бірі болып табылады. Бұр қағидаларға сәйкес жеке дифференциялдар

Dxi ( i = 1, 2, ...n)

Du функциясының жалпы абсолютті қателігінің пайда болуына бірдей әсет етеді деп түсіндіріледі. Онда (1.12) формуласында бірдей n қосылғыштар болады және есепті шешу келесідей болады:

Dxi = ; (i = 1, 2, ...n ). (1.14)

Бақылау сұрақтары:

1. Сандарды дөңгелекту ережесін сипаттаңыз.

2. 2 жуық сан соммасының қателігі неге тең?

3. 2 жуық санның айырым қателігі неге тең?

4. 2 жуық сан туындысының қателігін есептеу ережесін сипаттаңыз.

5. 2 жуық сан жеке қателігін есептеу ережесін сипаттаңыз.

6. Қателіктер теориясының кері есебін сипаттаңыз.

7. әртүрлі ықпалдар қағидасы нег тең болады?

8. Қателіктер теориясының кері есебінің дұрыс еместігі (дөрекілігі) неден тұрады?

Д3. Тақырып: Функция мәндерін есептеу. Итерация әдісі. Аналитикалық функцияның мәнін тізбекке орналастыру арқылы есептеу. Полином мәндерін есептеу. Рационал бөлшектердің мәнін есептеу.

Дәріс жоспары:

1. Функция мәндерін есептеу. Итерация әдісі.

2. Аналитикалық функцияның мәнін тізбекке орналастыру арқылы есептеу.

3. Полином мәндерін есептеу.

4. Рационал бөлшектердің мәнін есептеу.

Дәріс тезисі

Функция мәндерін есептеу. Итерация әдісі.

y = f(x) үздіксіз функция берілген, оның х = x болғандағы мәнін есептеу керек. Функцияны z = F(x, y) = y – f(x) түріне келтіреміз. х мәні фиксирленген болғанда тапсырма y мәнін анықтауға алып келеді, мұнда z = 0.

Кез келген y = yn мәнін таңдап, Лагранж теоремасын пайдаланып, келесі қатынасты аламыз (сурет 2.1):

yn+1 = yn (x=x) (2.1)

Мұнда және әрі қарай штрих саны сәйкесінше туындының ретін білдіреді (сурет 2.1).

Сурет 2.1. Функция мәнін есептеуге арналған сызба

Ізделінді y мәніне тізбекті жуықталған итерация процесіне арналған формула алынды. Егер F’ и F” қарастырылып отырған аралықта тұрақты таңбаға ие болса, онда процесс жинақты болады. Бастапқы yn мәні еркін таңдалады, бірақ ол мүмкіндігінше ізделінді y мәніне жақын болу керек. Процесстің артықшылығы – операциялардың біркелкілігі және оңай программалануы.

Әдістің кейбір функциялардың мәндерін есептеуде пайдалануын қарастырайық.

Аналитикалық функция мәндерін тізбекке орналастыру арқылы есептеу.

f(x) нақты функциясы x нүктесінде аналитикалық деп аталады, егер ïx – x ï< R нүктесінің маңында функция дәрежелі қатарға бөлінсе (Тейлор қатары):

f(x) = (x))/k!)(x – x)k , (2.5)

мұнда f(k) – f(x) функциясының k-ші туындысы.

x = 0 болғанда Маклорен қатарын аламыз:

f(x) = (0))/k!)xk.(2.6)

Қосылатын қатарлар саны шектеулі болса

Rn(x) = f(x) – (x))/k!)(x – x)k айырымы (2.7)

қалдық мүше деп аталады және соңғы мүшесі n болатын Тейлор қатары (Тейлор полиномы) арқылы функция ауыстырымындағы қателігі болады.

Функцияны келтірілген формулалар бойынша дәрежелі қатарға келтіру көп жағдайда функция мәнін есептеуге қолайлы әдіс болады. Көптеген математикалық анықтамаларда алгебралық, көрсеткіштік, тригонометриялық, гиперболикалық, логарифмдік, кері тригонометриялық және кері гиперболикалық функциялардың дәрежелік қатарға келтірілуі көрсетілген және олардың жинақталу облыстары көрсетілген.

Полином мәндерін есептеу

Коэффициенттері оң ak (k = 0, 1, ...n) болатын n-ші ретті Pn(x) = a0 xn + a1xn-1 +...+an полиномы берілген. x = x, яғни Pn(x) болғандағы полиномның мәнін есептеу керек.

Полиномды екімүшеге бөлеміз x – x. Жалпы жағдайда Qn-1(x) түріндегі полином және bn қалдығы аламыз. Бұла жазуға болады:

Pn(x) = Q n-1(x) (x- x) + bn. (2.9)

Безу теоремасы бойынша x = x болғанда қалдық бастапқы полином мәніне тең болады, яғни

Pn(x ) = bn. (2.10)

Бұл қатынасты (2.9)-ге х = x қою арқылы оңай алуға болады. Жеке жағдайда bn= 0 және x полином түбірі болады, яғни Pn (x) = 0.

Жоғарыда көрсетілген бөлуді орындаму үшін, Q n-1 (x) полиномының bi коэффициентін анықтау үшін Горнер сызбасын пайдаланамыз:

a0 a1 a2 … a n ë x

+

b0x b1x … bn-1x

b0 b1 b2 .... b n = Pn (x).

Коэффициенттер келесі формулалар арқылы есептеледі:

b0 = a0 + 0 x;

b1 = a1 + b0x;

b2 = a2 + b1x;

.....................

bn = an + b n-1x.

Қайталанатын, программалау оңай болатын bi = ai+ bi-1 x (i = 0, 1,…, n) операциялар тізімі бар.

Рационал бөлшектердің мәнін есептеу

Рационал бөлшекті екін полиномның қатынасы ретінде беруге болады:

R(x) = Pn(x)/ Qm(x).

R(x) мәнінің x = x R(x) = Pn(x)/Qm (x) нүктесінде бөлшегін табу үшін Pn(x) және Qm(x) мәндерін жоғарыда келтірілген сызба бойынша есептеп, олардың бөлінуін орындаймыз.

Бақылау сұрақтары:

1. Итерация әдісі үшін формуланы жазыңыз.

2. Итерация әдісінің пайдалануына мысал келтіріңіз.

3. Қандай функция аналитикалық деп аталады?

4. Полином мәнін Горнер сызбасын пайдалану арқылы есептелуіне мысал келтіріңіз.

5. Рационал бөлшектердің мәнін қалай есептеуге болады?

Д4. Тақырып: Теңдеулерді сандық есептеу. Есептің қойылуы. Түбірлердің бөлектенуі. Жуықталған түбірлерді нақтылау әдістері.

Дәріс жоспары:

1. Теңдеулерді сандық есептеу. Есептің қойылуы.

2. Түбірлердің бөлектенуі.

3. Жуықталған түбірлерді нақтылау әдістері.

Дәріс тезисі:

Теңдеулерді сандық есептеу. Есептің қойылуы.

f(x) = 0 теңдеуі берілген, мұнда f(x) – кейбір a < x < b аралығында (шекті немесе шексіз) үздіксіз және анықталған функция. Бірінші немесе екінші туындының шексіз болуы тиіс. Теңдеуді тепе-теңдікке айналдыратын кез келген x = x мәні теңдеудің түбірі немесе f(x) функцияның түбірі (нөлі) деп аталады.

Оқшауланған түбірлер жағдайын қарастырамыз, яғни әрбір түбірдің басқа түбір енбейтін өзіндік ауданы болады.

Көп жағдайда түбірді табу қиын болады, себебі функция өте қиын және оның түбірлерінің нақты мәні болмайды немесе алгоритмдер өте күрделі. Бұл жағдайларда есепті басқаша қоюға болады: түбірлердің ориентирленген мәндерін табу, содан кейін олардың мүмкіндігінше қажет нақтылыққа дейін жуықтау.

Мұндай формадағы есептерді шешу үшін бірнеше сандық әдістер қарастырылған, солардың кейбіреулері төменде көрсетілген.

Оқшауланған нақты түбірлерді жуықтау көбіне екі кезеңнен құралады:

n Түбірлерді ажырату, яғни түбір орналасқан аралықтарды тығыз орналастыру;

n Жуықталған түбірлерді нақтылау.

Түбірлерді ажырату

Теорема. Егер үздіксіз функция [a, b] аралығында әртүрлі таңба мәндерін қабылдаса, яғни f(a)f(b) < 0, онда осы аралықтың ішінде f(x) = 0 функциясының кем дегенде бір түбірі болады.

Түбір жалғыз болады, егер f`(x) туындысы болса және [a, b] ішінде таңба сақталса (Сурет 3.1,а).

Түбірлерді ажырату процесі:

n Функцияның орналасқан облысында функцияның таңбалары анықталады x = a және x = b;

n x = a1, a2, a3,... x аралық нүктелер тізбегінде функцияның таңбалары анықталады, олардың таңдалуы функцияның сипатына байланысты; егер f(a k)f(a k+1) <0 болса, онда (ak, ak+1) аралығында түбір болады.

Сурет 3.1. Теңбеу түбірлерін әдістермен анықтау сызбасы: а – түбірлерді ажырату; б – графикалық; в –жартылай ажырату

Көп жағдайда түбірдің жартылай ажыратылу әдісі қолданылады, мұнда аралықты жуықтап 2, 4, 8,... бөледі және бөліну нүктелерінде функцияның таңбасын анықтайды. Келесі қағиданы ұмытпаған жөн - n –ші дәрежелі алгебралық теңдеудің n-нан артық түбірлері болмайды.

Түбірлерді ажыратудың өзі қатаң бағалауды білдіреді. Бағалаудың қателігі b-a-дан аспайды.

Жуықталған түбірлерді нақтылау әдістері

Графикалық әдіс. y = f(x) функциясының графигін құрып, абцисса өсімен қиылысу нүктесінің абциссасын анықтайды. j(x) = y(x) тепе-тең теңдеуінің сол жақ және оң жақ бөліктерінің графигін құруға да болады және көрсетілген графиктердің қиылысу нүктесінің абциссасын табу керек. (Сурет 3.1, б).

Жартылай ажырату әдісі. Берілген интервалдың бастары мен ортасындағы функция мәнін есептейді, яғни f((a+b)/2). Егер ол мән 0-ге тең болса, онда (a + b)/2 теңдеудің түбірі болады. Егер бұл мән 0-ден үлкен немесе кіші болса, онда f(x) қарама-қарсы таңбаларға ие болатын аралық таңдалынады және көрсетілген есептеуді қайталайды (Сурет 3.1, в). Түбірді анықтаудың шектелген абсолютті қателігі келесідегідей болады:

Dx = (b – a)/2 n, (3.1)

мұнда n – қадам саны.

Әдісті түбірді қатаң анықтауға пайдаланған жөн. Нақтылықты арттырған сайын, есептеу көлемі де артады.

Хорда әдісі (пропорционал бөліктер әдісі). х = а и х = b болғанда y = f(x) қисығының нүктесі түзумен (хордамен) жалғанады. Бұл хорда мен абцисса осінің қиылысу нүктесі түбір мәні үшін бірінші жуықтауды x1 білдіреді. Бұл жағдайда (a, b) интервалы екі бөлікке бөлінеді: (a,x1) и (x1,b). Интервал бастарында таңбалары әртүрлі болатын интервал бөлігі таңдалады. Бұл интервалдың ұштарын хордамен жалғап, жоғарыда сипатталған әрекеттерді орындайды.

Егер а хордаларының соңы қозғалыссыз болса (Сурет 3.2, a), онда келесі итерациялық әдісті аламыз:

x n+1 = xn – (xn – a); (3.2)

n = 0, 1, ...; x0 = b; lim xn= x при n ®¥.

Сурет 3.2. Теңдеу түбірлерін нақтылау әдістері сызбасы: а – хорда (сол жақ ұшы қозғалмайды); б – хорд (оң жақ ұшы қозғалмайды); в – итерация

Егер b хордаларының соңы қозғалыссыз болса (Сурет 3.2, б), онда келесі итерациялық әдісті аламыз:

xn+1 = x n – (b – x n) ; (3.3)

n = 0, 1, ...; x0 = a; lim xn= x при n ®¥.

Қателік бағасы

ïx – x n ï £ ïx n – x n -1ï, (3.4)

мұнда M1 және m1 – f’(x) туынды модулінің [a, b] аралығында ең үлкен және ең кіші мәні.

Тар кесінді үшін

ïx – x n ï £ ïx n – x n -1ï. (3.5)

Жанамалар әдісі (Ньютон әдісі). f(x) = 0 теңдеуінің x түбірі [a, b] аралығында ажыратылған болсын және f’ және f’’ туындылары үздіксіз және осы аралықта анықталған таңбаларын сақтайды. Онда

x n+1 = x n – ; (n = 0, 1, 2, ...). (3.6)

x0 бастапқы нүктесі ретінде (a, b) аралығының f’’ (x)-пен бірдей болатын таңба қабылдайтын соңы алынады (Сурет 3.2, в).

Қателік бағасы

ïx – x n ï £ ïx n – x n -1ï. (3.7)

Итерация әдісі (Жуықталған түбірлерді нақтылау әдістері).

Берілген f(x) = 0 теңдеуін оған тепе-тең болатын теңдеумен алмастырайық:

х = j(x). (а)

x0 түбірінің жық мәнін қандай да бір әдіспен анықтап, оны (а)-ның оң жақ бөлігіне қояйық:

x1 = j (x0). (b)

Енді (b)-ның оң жағына x0 санының орнына x1 санын қояйық, сонда жаңа сан аламыз x2 = j(x1) және т.с.с. Бұл процесті қайталай келе, сандардың тізбегін аламыз:

xn = j (xn-1); (n = 1, 2, 3,...). (3.8)

Егер тізбек жинақталса, онда x = lim x n при n ® ¥.

Итерация әдісін геометриялық бейнелеу түрінде ұсынса, онда алынған фигура түрі j`(x) > 0 болғанда саты түрінде (Сурет 3.3, a) немесе j`(x) < 0 болғанда спираль түрінде (Сурет 3.3, б) болады. Есептеу алгоритмінің өзіндік дұрысталу қасиеті – есептеудің бөлек қателері қорытындыға әсер етпейді.

Сурет 3.3. Итерация әдісінің сызбасы: а – саты түрінде; б – спираль түрінде; в – ажыратылу

Итерация әдісі ажыратылған болуы мүмкін. Жинақталудың жеткілікті шарты келесі түрде болады:

ïj`(x)ï £ q < 1; a < x < b. (3.9)

q саны ретінде a £ x £ b аралығында ïj’(x)ï туындысының ең кіші мәнін немесе төменгі шегін алуға болады.

Жуықтау қателігі

ïx – x n ï £ ïx1 -x0ï. (3.10)

Процесті келесі теңдік орындалғанша жүргізу керек:

ïx – x n ï £ e, (3.11)

мұнда e – берілген шекті абсолютті қателік

Бақылау сұрақтары:

1. Теңдеудің оқшауланған түбірлерін жуықтап табудың кезеңдерін атаңыз?

2. Теңдеу түбірлерін ажырату процесінің мәні неде?

3. Теңдеудің жуықталған түбірлерін анықтау процесінің мәні қандай?

4. Жуықталған түбірлерді нақтылау әдістерін атаңыз.

5. Теңдеулердің түбірлерін ажырату әдістерін атаңыз.

Д5. Тақырып: Теңдеулер жүйесін шешу. Кері матрица әдісі. Крамер формуласы. Гаусс әдісі. Жордан-Гаусс әдісі. Итерация әдісі.

Дәріс жоспары:

1. Теңдеулер жүйесін шешу. Кері матрица әдісі. Крамер формуласы.

2. Гаусс әдісі.

3. Жордан-Гаусс әдісі.

4. Итерация әдісі.

Дәріс тезисі

Теңдеулер жүйесін шешу. Кері матрица әдісі. Крамер формуласы.

п сызықтық-алгебралық теңдеулер жүйесі берілген:

xj = bi; (i = 1, 2, ...n). (4.1)

Жүйе коэффициенттерінің матрицасын және белгісіздер мен бос мүшелердің вектор-бағандарын құрастырамыз:

A = [aij ], x = [xj ], b = [bi].

Матрицалық жазба (4.1) келесі түрде болады:

Ax = b. (4.2)

Егер А матрицасы – ерекше емес (detA = D ¹ 0) болса, онда оның кері матрицасы А-1табылады. (4.2) теңдеуінің екі жағын сол жақтарынан кері матрицаға көбейтетін болсақ, онда мынаны аламыз:

А-1А х = А-1 b немесе х = А-1 b. (4.3)

(4.3) формуласы есептің жауабын береді. (4.3) формуласы бойынша түбірді табу үшін матрицаны айналдыра және олардың көбейтіндісін орындай білуі қажет.

Кері матрицаны одақты А~-1 = А~/ D) матрицасы арқылы бейнелей отырып, (4.3) теңдеуін келесі түрге келтіреміз:

x = A~ b,

немесе xi= D i / D,

мұнда Di= Aji bj.

AjI – А матрицасындағы aji элементінің алгебралық толықтауышы.

Қосымша Dі детерминанттары D-дан і-інші бағананы бос мүшелі бағанамен ауыстыру арқылы алынады.

Осыдан Крамердің белгілі формулаларын аламыз:

x1 = D1 / D, x2 = D2 / D,... , x n= D n/ D. (4.4)

Гаусс әдісі. (4.1) жүйесінің бірінші теңдеуіндегі х1–ді өрнектеп, оны жүйенің қалған теңдеулеріне қоямыз. Нәтижесінде, х1 айнымалысы жоқ n–1 теңдеуін аламыз. Алынған теңдеулердің алғашқысын да х2-ге қатысты дәл солай өрнектейміз. Осы процесті қайталай отыра, соңында тек х n айнымалысы бар жалғыз теңдеуге келеміз. Оны шешу барысында, х n-ді табамыз. Бұл алынған нәтижені пайдалана отырып, хn-1-дің мәнін аламыз және т.с.с. жалғастырамыз.

Шешім табу процесі коэффициенттің үшбұрышты матрицасынан тұратын САТ эквивалентті жүйесін құруға әкеп соғатынын көруге болады. Үшбұрышты жүйені табу процесі - тура жүріс, ал белгісіздер мәнін табу процесі – кері жүріс деп аталады.

Арифметикалық әрекеттерге қажетті N санының бағасы келесіні құрайды:

N ~ n 3 ( n > 7 болған кезде). Сонымен, n = 100 үшін N ~ 106 әрекеттер қажет.

Жордан–Гаусс әдісі. Қарапайым түрлендіру (теңдеулер жүйесін санға көбейту, теңдеуді мүше бойынша қосу/алу) арқылы жүйені келесі түрде көруге болады, яғни әр теңдеу 1 коэффициенті бар тек бір ғана айнымалыға ие, ал қалған айнымалылар нөлдік коэффициентке ие ие екенін. Осындай түрлендіру нәтижесінде жүйе шешімі жеткілікті екені айқын.

Итерация әдісі. (4.2) теңдеуі түріндегі жүйесінің п САТ берілген. Жүйенің әр теңдеуін индексі жол нөміріне тең белгісіздерге қатысты шешеміз. Содан алатынымыз (матрицалық түрде)

x = b + ax, (4.7)

мұнда

bi = b i / a i i ;ai j= – ai j / a i I (i ¹ j жағдайда);

a i j= 0 ( i = j жағдайда).

(4.7) жүйесін тізбекті жуықтау әдісі арқылы есептейміз. Нөлдік жуықтау ретінде x(o) = b теңдеуін аламыз.

Табамыз:

x(1) = b + a (x (0) ) (бірінші жуықтау)

x(2) = b + a (x (1) ) (екінші жуықтау)

және т. с. с. Процесс жақсы жинақталады, егер a элементтері өлшемі бойынша аз болса.

Бақылау сұрақтары:

1. Теңдеулер жүйесін Крамер әдісі арқылы шешу неден тұрады?

2. Қандай матрицалар үшін кері матрица табылады?

3. Гаусс әдісінің мағынасы неде?

4. Жордан-Гаусс әдісінің Гаусс әдісінен басты ерекшелігі неде?

5. САТ жүйесінің шешімін табудағы итерациялық процесс үшін формуланы жазыңыз.

Д6. Тақырып: Интерполяциялау. Есепті қою. Ақырлы айырымдарды есептеу. Интерполяциялық формулалар. Сплайн-интерполяция.

Дәріс жоспары:

1. Интерполяциялау. Есепті қою.

2. Ақырлы айырымдарды есептеу.

3. Интерполяциялық формулалар.

4. Сплайн-интерполяция.

Дәріс тезисі:

Интерполяциялау. Есепті қою.

[a, b] кесіндісінде xi-дің (i = 0,1, ..n) немесе интерполяция түйіндерінің n+1 нүктелері мен осы нүктелердегі кейбір f(x) функциясының yi = f(xi) мәндері берілген. Интерполяциялық түйіндерде f(x)-те бар мәндерді интерполяция түйіндерінде қабылдайтын интерполяциялық функцияны құру қажет, яғни F(xi) = f (xi) болатындай. Есептің геометриялық интерпретациясы 5.1. суретте көрсетілген.

Есептің практикалық мәні:

1) ары қарай өңдеу мақсатында кестелі-тәжірибелік (хi, yi) берілгендері үшін функция таңдау);

2) күрделі функцияны қарапайым функцияға ауыстыру;

3) функция мәнін интерполяция түйіндері арасында немесе олардан тыс (экстраполяция немесе болжам) түрде жуықтап есептеу.

Құрастырылған қойылымда есептің өте көп жауабы бар, не болмаса мүлдем жауабы жоқ болады. Егер интерполяциялайтын функцияның санатын шектесек, мысалы п – нен жоғары емес полиномдар дәрежесімен, онда есептің бір ғана шешімі бар.

Сурет. 5.1. Интерполяциялық полином сызбасы

Ақырлы айырымдарды есептеу

Кестемен берілген y = f(x) функциясының әрекетін көрші нүктелердегі оның мәнінің айырымдарын, кейін осы айырымдардың айырымын есептей отыра, бағалауға болады. Dх = h = xi+1 – xi = const, (i = 0, 1, .. n) қадамы бар бірдей қашықтықтағы нүктелердің дискретті n+1 жиынында кестелі түрде берілген бір айнымалылы функцияны қарастырайық. Бұл функцияның бірінші ақырлы айырымы келесідей болады:

Dy = Df(x) = f(x+h) – f(x). (5.1)

D символын (5.1) қатынасымен анықталатын Dy функциясын y = f(x) функциясымен сәйкес қоятын айырымды оператор ретінде қарастыруға болады. Бұл оператор сызықтық қасиетіне ие, яғни

D(u +v) = Du + Dv,

D (cu) = c D(u),

мұнда u, v –х функциисы, с – тұрақты.

Интерполяциялықформулалар. Интерполяцияның тең аралықты түйіндері кезінде (h = const)

Ньютонның 1-ші интерполяциялық формуласы (алға қарай интерполяциялау):

Pn (x) = y0 + (Dy0/1! h) (x – x 0)+(D2y0/2! h2) (x – x0) (x – x1)+ ..

..+(Dn y0/ n! hn )(x – xo)(x – x1)...(x – x n – 1); (5.4)

Ньютонның 2-ші интерполяциялық формуласы (артқа қарай интерполяциялау):

Pn (x) = yn + (Dyn-1/1! h )(x – x n) + (D2yn-2/2! h2 )(x – x n-1) +..

..+ (Dny0/n! hn )(x – x n)...(x – x1). (5.5)

Интерполяцияның кез келген түйіндері кезінде

Лагранждің интерполяциялық формуласы:

Pn(x) = L0(x)f0 + L1(x)f1 + ...+ Ln(x)fn , (5.6)

мұнда f i = f (xi) және

Li(x)= (5.7)

Интерполяциялық формулалардың дербес жағдайлары

Интерполяция түйіндері аз болған кезде келтірілген формулалар біраз қысқарады.

n = 1 болған кезде (интерполяцияның екі түйіні) Ньютонның алғашқы формуласы сызықтық интерполяциялау формуласын береді

P1(x) = y0+qDy0, (5.8)

Ал n = 2 болған кезде параболалық немесе квадраттық интерполяциялау формуласын аламыз:

P2(x) = y0+qDy0 + D2 y0 , (5.9)

мұнда q = (x – x0)/h.

Ұқсас шарттар кезінде Лагранждің интерполяциялық формулалары a және b абциссалары бар екі берілген нүкте арқылы өтетін сызықтық теңдеу мен a, b және c абциссалары бар үш берілген нүкте арқылы өтетін парабола теңдеуінен тұрады.

Интерполяциялық формулалардың қателіктері

Ньютонның 1-ші интерполяциялық формуласындағы абсолбтті қателігінің жуықталған бағасы

f(x) – Pn(x)ï = Dn + 1 y0 , (5.10)

мұнда q = (x – x0)/h.

Лагранждың интерполяциялық формуласындағы абсолюттік қателік келесі түрде болады:

ïf(x) – Pn(x)ï £ (x – x0)(x – x1)...(x – x n), (5.11)

мұнда M n+1 = ïmaxf ( n + 1) (x)ï, a £ x £b.

Сплайн-интерполяциясы. Интерполяцияның көп түйіндері болған кезде қарастырылған Ньютон мен Лагранж полиномдары үлкен дәрежеге ие болады және қатты «тербеледі», әсіресе қарастырылған интервалдың шеткі жақтарында. Бұл туындыларды есептеу түйіндер арасындағы интерполяцияның дәлдігінің төмендеуіне әкеп соғады. Бұл қиындықтан шығудың жолы бөліктік интерполяция немесе сплайн-интерполяция (сплайндармен интерполяция).

Бөліктік интерполяцияның мәні мынада: барлық түйіндерді аз түйіні бар тізбекті топтарға бөліп, әр топқа жоғарыдағы сипатталған формулаларды келтіру керек. Бұл полиномдар дәрежесін төмендетеді, бірақ жалпы жағдайда топ шеттеріндегі интерполяциялайтын функция туындыларының бөлінуіне әкеп соғады.

Сплайн-интерполяция. i-1 және i көрші түйіндер арасындағы әр бөлікте интерполяциялық функция шағын k (k-сплайн) дәрежелі полином түрінде болады. k = 1 жағдайында интерполяциялайтын функция түйіндерді біріктіретін сынық сызық түрінде болады. Ең көп қолданысқа k = 3 (кубтық сплайндар) жағдайы ие.

Егер жұқа, иілгіш металдық сызғышты интерполяцияның екі көрші түйініне орналастырып, оған түйіндерде анықталған иілу бұрышын берсе, онда үшінші дәрежелі полиноммен сипатталатын және потенциалдық энергияның минимумына сәйкес келетін нақты форманы алады.

і-ші (i = 1..n) түйін үшін осындай полиномды келесі түрде жазуға болады:

Si(x) = ai + bi(x – xi-1) + ci (x – xi-1)2+ di (x – xi-1)3 (5.12)

Полином коэффициенттерін барлық п бөлікте есептеу үшін 4п теңдеу болу қажет. Олардың 2п теңдеуін yi-1 және yi түйін нүктелері арқылы Si(x) өту шартынан аламыз:

Si(xi-1) = ai = yi-1;

Si(xi) = ai + bi hi + ci hi2 + di hi3 = yi; (5.13)

мұнда hi = xi – xi-1, i = 1..n.

Қосымша теңдеулерді интерполяция түйіндеріндегі Si(x) туындыларына шектеу қоя отырып алуға болады. Егер интерполяция түйіндеріндегі бірінші мен екінші туынды үздіксіз болу керек деп алсақ, онда қосымша 2n – 2 теңдеуді аламыз:

S'i(x) = bi + 2ci(x – xi-1) + 3di(x – xi-1)2;

S''i(x) = 2ci + 6di(x – xi-1);

S'i(xi) = S'i+1(xi);

S''i(xi) = S''i+1(xi).

Осыдан: bi+1 = bi + 2ci hi + 3di hi2;

ci+1 = ci +3di hi. (5.14)

Жетпейтін қатынастарды сплайн шеттерін бекіту шарттарынан аламыз. Мысалы, шеттерді бос бекіту кезінде жоғарыда айтылған сызғыштың шеттеріндегі қисықтық нөлге тең деп, яғни нөлдік екінші туындыға сәйкес келеді деп болжауымызға болады: S''(xi-1) = 0;S''(xi)=0.

Осыдан

ci = 0;

2ci + 6di hi = 0. (5.15)

Алынған қатынастар (5.13)–(5.15) полиномның (5.12) анықталған ізделінді коэффициенттері үшін САТЖ-ді ұсынады.

Бақылау сұрақтары:

1. Функцияны интерполяциялау есебінің практикалық тағайындауы неден тұрады?

2. Қандай функция интерполяциялайтын деп аталады?

3. Ақырлы айырымдарға түсінік беріңіз.

4. Қандай интерполяциялық формулалар тең қашықтықты түйіндер кезінде қолданылады?

5. Қандай интерполяциялық формулалар кез келген түйіндер кезінде қолданылады?

6. Сплайндармен интерполяция неден тұрады?

Дәріс 7. Тақырыбы: Аппроксимация қызметі. Міндет қойылымы. Ең кіші шаршы әдісі.

Дәріс жоспары:

1. Аппроксимация қызметі. Міндет қойылымы.

2. Ең кіші шаршы әдісі.

Дәріс тезисі

Алғашқы мәліметтің көп нүкте жағдайында интерполяция тапсырмасын шешу интерполяциондық полином дәрежесінің өсуі нәтижесінде айтарлықтай қиындайды. Алғашқы мәліметтің құтылмайтын қатесі есебінде оларды алмастыратын қисықты таңдағанда осы берілген нүктеден қисықтың міндетті түрде өтуі керек талабын осы нүктеге жеткілікті жақын қисық талабымен алмастыруға болады.

Онда тапсырманы бұлай құрастыруға болады: нүктенгің хі, уі (і=1,2,...n) «бұлттары» үшін уі мағынасына жақын у (хі) мағынасын беретін у (х) қисығын таңдау.

У (х) қисығы аппроксимацияланатын қисық немесе регрессия сызығы деп аталады. Жалғыз шешімді табу үшін интерполяциядағы сияқты аппроксимирлейтін қисық класын және оның алғашқы мәлімет нүктесіне жақын критерийді жаңылыстыру. Ең кіші шаршы әдісінде мұндай критерий болып шаршының минимум қосындысы сызық регрессиясы у (хі) ординатының уі эксперименттік нүктесінен ауытқуы табылады. Бұл қосындысы мына түрде болады:

S = – y(x i))2. (6.1)

Аппроксимацияланатын қызмет класы ретінде көбінесе сатылы полином алынады.

y(x) = a0 + a1 x + a2 x2 +...+ am xm ; ( m < n ). (6.2)

Бақылау сұрақтары:

1. Қандай жағдайда аппроксимация есебінің қойылымының қажеттілігі туады?

2. Функцияның аппроксимация тапсырмасын тұжырымдаңыз?

3. Қандай қисық регрессия сызығы деп аталады?

4. Ең кіші шаршы әдісі не үшін қолданылады?

Дәріс 8. Тақырыбы: Сызықтық аппроксимация. Аппроксимацияның басқа түрлері.

Дәріс жоспары:

1. Сызықтық аппроксимация.

2. Аппроксимацияның басқа түрлері.

Дәріс тезисі

Сызықтық аппроксимация.

м=1 болғандағы жағдайды қарастырайық. Аппроксимацияланатынн қызмет тік сызық болып табылады: y(x) = a0 + a1x. Теңдік мына түрде болады:

S = – a0 – a1 x i)2. (6.3)

S минимизациясы үшін S –тен ao және a1 –ге дейінгі меншікті туындыларды есептеп, оларды нөлге теңестіреміз. Сызықты теңдеудің келесі жүйесін аламыз:

– a0 – a1 xi) = 0;

– a0 – a1 x)(– xi) = 0;

Белгісіз коэффиценттерді шешу барысында табамыз:

a1 = ; (6.4)

a0 = 1/n ( – a1).

Аппроксимацияның басқа түрлері.

Полином дәрежесінің ұлғаюымен (6.2) оның коэффиценттерін анықтау сызбасы бұрынғыдай қалады, бірақ теңдеу саны ұлғаяды және есептер қиындайды. m+1 теңдеуі жүйесін шешуге тура келеді.

Жалпы жағдайда ізделіп жатқан шама құрамына сызықсыз қатысушы тәуелділік кіреді, әдіс сызықсыз теңдік жүйесіне әкеледі және есептеу қиындығы жоғарылайды. Кейбір меншікті жағдайларда сызықсыз аппроксимацияны айнымалы алмасу сызығына немесе логарифмдеуге әкеледі.

Бақылау сұрақтары:

1. Есепті шығаруға тіркеу секілді айнымалыларға қажетті мысалдар келтіру.

2. Тіркеу дегеніміз не?

3. Тіркеу типі қалай сипатталады?

4. Қосылу операторын тағайындау?

5. Нұсқалы тіркеу дегеніміз не?

6. Нұсқалы тіркеу типі қалай сипатталады?

Дәріс 9. Тақырыбы: Сандық дифференциалдау. Дифференциалдану әдістері.

Дәріс жоспары:

1. Сандық дифференциалдау.

2. Дифференциалдану әдістері.

Дәрісн тезисі

Сандық дифференциалдау. Тәжірибелік тапсырмалар барысында кестелік берілген у (х) функциясы көрсетілген қатарынан туындыны табу. Немесе функция аналитикалық берілген, бірақ қиын мағынаға ие, және тура дифференциация қиындайды.Мұндай жағдайда сандық дифференциалдау көмегімен жақын дифференциацияға келеді.

Дифференциалдаудың негізгі әдістері:

1) соңғы айырмашылықтарды қолдану;

2) интерполяциондық формула негізінде дифференцирлеу.

Соңғы айырмашылық әдісі әрекетке соңғы айырмашылық қатысымен іске асады. Мысалы, y = ax2 + bx + c функциясы үшін бірінші соңғы айырмашылық тең (5.1. мысалын қараңыз) Dy = 2ahx + ah2 + bh.

Оның һ әрекетіне қатынасы Dy/h = 2ax + ah + b. Бірінші туындының нақты мағынасын dy/dx = 2ax + b формуласы арқылы есептеуге болады. Алдыңғы формула соңғысынан тек һ аз қадамын аз мәнге келтіре алатын аһ қосылғышы арқылы ғана ерекшеленеді.

Туындыны есептеудің қателігін азайтуды мына формуланы қолдану арқылы есептеуге болады:

yk’ = (yk+1 – yk-1) / 2h; (7.1)

yk’’ = (yk+1 –2yk + yk-1) / h2. (7.2)

Екінші әдіс мәні дифференциацияланатын у (х) функциясын [a,b] интерполяциялатйтын функциясымен (полиноммен) Pn(x) ауыстыру және мүмкіндігі

y'(x) = P’(x) ; a £ x £ b.

Интерполяциялайтын туынды функциясының қателігі бұл туынды функциясының қателігіне тең. Жақындаған дифференцирлеу – интерполяциялауға қарағанда операция дәлдеу, y(x) және P(x) жақындығы олардың туындыларының жақындығын білдірмейді.

Бақылау сұрақтары:

1. Қандай жағдайларда сандық дифференцирлеу тапсырмасы туындайды?

2. Дифференцирлеудің негізгі әдістерін атаңыз.

Д10. Сандық интегралдау. Есептер қойылымы.

Қарапайым квадратуралық формулалар.

Дәріс жоспары:

· Сандық интегралдау. Есептер қойылымы.

· Қарапайым квадратуралық формулалар.

Дәріс тезисі

a,b ақырғы шектерінде көрсетілген y = f(x) бір айнымалы үздіксіз функциясы арқылы берілген бірінші ретті анықталған интегралды есептеу тапсырмасын қарастырамыз:

In = .

Ньютона-Лейбниц бойынша формуланың интегралы

In = F(b) – F(a),

мында F(x) – туынды функция (F’(x) = f(x)).

Осыған ұқсас есептеу кезінде мынадай қиындықтарды туғызу мүмкін.

1. Бастапқы үлгідегі функция элементарлық функция көмегімен табылу мүмкін емес немесе өте қиын болып табылады. Негізінде, ол кейбір арнаулы функциямен ұсынылу мүмкін, ал осындай функцияның кестесі қолда жоқ.

2. Интегралданған функция кестемен берілген, және бастапқы үлгідегі функцияның ұғымы мәнін жоғалтады.

Осындай жағдайларда сандық әдістердің жуықтап есептеу интегралын қолданып, оның мәнін интегралданған функцияның мәні бойынша таңдалынған нүктенің ақырғы санын есептегенде қолдануға болады. n нүктесіндегі [а,b] кесіндісіндегі n нүктесінің x0 = a, x1, x2, …, xn = b таңдап аламыз және сәйкесінше y0, y1, …, yn (yk = f(xk), k = 0..n мәндері енгізілген) функциясының мәнін есептейміз. Егер функция кестеде берілген болса, онда осы мәліметтер алдын ала бар болады. Осы сандық мәлімет бойынша интегралды есептеу қажет.

Қарапайым квадратуралық формулалар

Сурет 8.1. Анықталған интегралды есептеу схемасы

Геометриялық анықталған интеграл сандық түрде интегралданған қисығы және х осінде а-дан b- ға дейінгі аралығы шектелген фигураның ауданына тең екені белгілі. Осы ауданның элементін 0c = xk-ден 0d = xk+1-ге дейінгі аралықта бөліп аламыз (8.1.сур.) .

Cefd қисықсызық трапециясының ауданын суретте көрсетілген кез келген тіктөртбұрыштың біреуінің ауданымен жуықтап анықтауға болады, яғни олар: cend, cgfd немесе chmd. Олардың біріншісінің биіктігі yk (сол жақтағы үшбұрыш) сол жақ ординатасына, екіншісі- yk+1 (оң жақтағы үшбұрыш) оң жақ ординатасына, ал үшіншісі- функция мәнінің hk = xk+1 – xk (ортасындағы үшбұрыш) интервалының ортасына тең болады. a–b кесіндісін бірдей n бөліктерге бөліп (hk = const), көрсетілген үлгінің біреуінің үшбұрыштық жүйесін құрып және олардың ауданын қосып, интегралдың жуықталған мәнін аламыз.

Үшбұрыштың орнына трапецияны (cefd 8.1. сур.) қолдауға болады. Симпсон әдісінде yk, yk+1, yk+2 ординаталармен үш нүктеден өтетін парабола ауданы тізімделген элементтердің әрбір тізбектелген жұбы y = f(x) берілген қисығында алмастыру қолданылады. n интервалындағы бөлулер саны жұп болу керек.

Бақылау сұрақтары

1. Сандық интегралдау есебін тұжырымдаңыз.

2. Қарапайым квадратуралық формулаларды көшіріп алыңыз.

Д11. Тақырып: Қарапайым дифференциалдық теңдеулердің сандық интегралдауы. Есептердің қойылымы және есептеу әдістері бойынша жалпы мәлімет.

Дәріс жоспары:

1. Қарапайым дифференциалдық теңдеулердің сандық интегралдауы.

2. Есептердің қойылымы және есептеу әдістері бойынша жалпы мәлімет.

Дәріс тезисі

Қарапайым дифференциалдық теңдеулердің сандық интегралдауы.

Динамикалық жүйенің математикалық модельдеу кезінде оқытылған обьект пен үдерісін дифференциалдық теңдеумен (ДТ) мінез-құлықтарын тізімдеу керек. Оларды шешудің (интегралдаудың) міндеттері туындайды.

Қарапайым жағдайда жүйенің мінез- құлықтары t аргументінде берілген (a,b) облысы бір ауыспалы бірінші реттің қарапайым дифференциалдық теңдеу (ҚДТ) түрінде жазылады:

(9.1)

Есептердің қойылымы және есептеу әдістері бойынша жалпы мәлімет.

Интегралды қисықтың іздеу есебі

Y = F(t), (9.2)

осындай болғанда F' º f(t,Y), алғашқы жағдайда: t = t0 болғанда Y = Y0 Коши есебі деп аталады. (ҚДТ жоғарғы бірінші ретті жаңа ауыспалы қойылымы ҚДТ түріне (9.1) әкелу мүмкін. ҚДТ редукция реті деп аталады ).

Шығару әдістері (9.1) бөлінеді:

a) графикалық;

b) аналитикалық (нақты және жуықталған);

c) сандық.

Графикалық әдістер.Бұл әдістерді геометриялық құрылым қолданады және жуықтап шешуді береді. Мында олардың егжей-тегжейлері қарастырылмаған.ҚДТ (9.1) түріндегі графикалық шешуге изоклин әдісі қолданылатынын атап өтейік. Оның изоклинмен анықталған (геометриялық туынды мағынасына сәйкес белгілі f(t,Y) функциясы беретін түзу еңісінің сызығы) бағыттау өрісі құрылады және сол бойынша интегралды қисықтар жуықтап сызбаланады.

Аналитикалық әдістері. Аналитикалық шығару кезінде (9.2) функционалдының тәуелсіздігі үшін жабық тұлғалау түріндегі (9.1) қанағаттандыратын формуланы алуға тырысады, немесе, мысалы, шексіз қатар түрінде. Осындай қатардың кейбір сандық мүшесін жарамсыз деп тастау аналитикалық шығаруды жуықтап береді. Аналитикалық шығарудың жетістігі нақтылығының жоғарлығы, әрбір таңдалынған аргумент мәндері және басқада алғашқы жағдайлары үшін функция мәнінің қарапайым есептеу мүмкіндігі болып табылады.

Нақты жекеше шешудің іздеу әдістерінің біреуі Лаплас туындысының ҚДТ интегралын қолданады. ҚДТ нәтижесінде Лаплас (көмекші немесе теңдеуді кескіндейтін) бойынша кескінде алгебралық теңдеу туындайды. Ізделінді функцияның кескіні салыстырмалы түрде шешіледі, кері туынды көмегімен оның тұпнұсқасын табуға болады

Сандық әдістер. Аналитикалық шығарудың негізгі проблемалардың бірі болып f(t,Y) функциясын интегралдау мүмкін еместігі болады. Басқа сөзбен айтқанда, элементарлық немесе белгілі арнайы математиклық функциялар көмегімен интегралдау қисығы бейнеленбейді. Осы жағдайда шешімнің сандық әдістер қолданады. Сандық әдістерде ізделінді шешімі t n аргуметінің берілген мәндері үшін Y = F(t) функциясының кестедегі жуықтап алынған yn мәні түрінде алынады.

t0 = a, t1, t2,…, tn, tn+1,…, tN = b аргументінің мәні түйін немесе тор түрінде беріледі. hn = tn+1 – tn торының қадамы (интегралдау қадамы) тұрақты (hn = h = const, бір қалыпты тор) немесе айнымалы (бір қалыпты емес тор) болу мүмкін. Әрбір n түйінінің торы үшін yn саны ізделінеді, аппроксимациялайтын нақты шешуі Y(tn). Шешімдері кесте түрінде болады (x n, yn).ъ

Сандық әдістер бір қадамды болы п бөлінеді, yn+1 есептеуі үшін алдыңдағы бір n қадамының және көп қадамның нәтижесі қолданылады, көрсетілген есептеу үшін бірнеше алдыңғы қадамның нәтижелері қолданылады. Сандық әдістер кейбір алгоритмдер көмегімен іске асырылады,оларды көбінесе шешкіштер деп атайды. Әдістердің (шешкiштердің) маңызды мінездемелері қиындық (керек операциялардың саны) және қателіктер болып табылады. Әдістің жергілікті қателігін Y(t n) – y(t n) айырыммен мінездеуге болады.

ҚДТ шешімінің сандық әдістерін іске асыру проблемалардың бірі моделдейтін жүйенің қаттылығымен байланысты рационалды таңдау қадамы болып табылады. Егер интегралды қисықтың байсалды өзгерiстеріне байланысты соңғы қарқынды өзгерiстердiң (тербелiстер) бөлiмшелерi бар болса, онда жүйе қатты деп аталады. Осы жағдайда интегралдаудың үлкен қадамы ізделінді функцияның жылдам өзгерістеріне рұқсатнамасына алып келеді, ал кішісі – есептеулер қиындығының маңызды үлкеюiне алып келеді. Бұл мәселенiң ұтымды шешiмi интегралды қисықтың есептелетiн мәндерiне байланысты көршi қадамдарға интегралдауды адапттивтi қадамның қолдануы болып табылады.

Есептiң шешiмiнің ортақ жолы Тейлор қатарларының қолдануында жеткiлiктi болады.

h қадамын –тұрақты деп қоямыз. y(t)-ні tn нүктесіндегі Тейлор қатарына жіктейміз:

y(tn+1) = y(tn) + h y’(tn ) + h2 y’’(tn) /2! + h3 y’’’(tn) /3! + h4 y1V (tn) /4! … (9.3)

n=0 деп, (9.3) белгілі y(t0) –ні және бастапқы шарттардағы y’(t0)-ні және (9.1) теңдеуінің өзін аламыз. Басқа кіретін туындыларды формула бойынша есептеуге болады (жазуларды қысқырту үшін f функциясының аргументтері түсірілген, ал туындылар астыңғы индекстермен белгіленген) :

y’= f;

y’’ = ft + fyf;

y’’’ = ftt +2fty + fyyf2 + fy(ft + fyf); және т.б.

(9.3) қатарларын N мүшеге дейін қысқарта отырып, келтірілген формулалардың керекті туындыларын және y(t1) = y1 есептеуге болады. Содан соң келтірілген схемамен y2 және т.б. есептеуге болады. Осы әдіс Тейлор әдісі деген атауды алды. N жеткілікті үлкен болғанда әдістің дәлдігі жоғары болады. Қате hN+1 қатарының шамасымен бағаланады, дегенмен әдіс үлкен қиындықпен ерекшелінеді.

Бақылау сұрақтары:

1. Сандық интегралдау есебін сипаттаңыз?

2. ҚДТ қатарының редукциясы не деп аталады?

3. Сандық интегралдау есептерiнiң шешiмiнiң әдiстерiн атаңыз?

4. Лапластың интегралды өрнектеуi не үшін қолданылады?

Д 12. Тақырып: Қарапайым дифференциалды теңдеулерді шешудің классикалық әдістері. Басқа әдістер.

Дәріс жоспары:

1. Қарапайым дифференциалды теңдеулерді шешудің классикалық әдістері.

2. Басқа әдістер.

Дәріс тезисi.

Қарапайым дифференциалды теңдеулерді шешудің классикалық әдістері.

Классикалық деп аталатын қарапайым сандық әдістерін қарастырайық.

Бір адымды әдіс.

1. 1 нүктесіне бірінші туындыға дейін қысқартылған (9.3) қатарын жазамыз: y(t1) = y1= y(t0) + h y’(t0) = y0 + hf(y0, t0). (9.4)

(9.4) оң жақ бөлігі белгілі шамалардан тұрады, олар арқылы y1 табуға болады. Дәл солай y2 және т.с. басқаларын табуға болады. Бұл әдіс Эйлера әдісі (немесе Рунге–Куттаның бірінші дәреже әдісі) деп аталынды. Әдiстiң геометриялық интерпретациясы: қадамның ішіндегі қисығының дәл шешімі жанама кесіндісімен ауысады.

Әдістің қателігі h2 тең. Әдіс шешімнің жанамасы интегралдық кесіндісінен көп ауытқуынан шешім тура дәлдікпен табылмайды.

(9.4) формуласын келесі пікірлер арқылы алуға болады. Анықталған интегралды геометриялық талқылау арқылы келесі түрде жаза аламыз:

. (9.5)

Анықтама бойынша оң жақ интегралданбайды. Сондықтан солжағын тікбұрыш арқылы есептейміз. Нәтижесінде n = 0 шамасы hf(y0, t0) тең болатын (9.4) формуласына әкеледі. Сондықтан Эйлер әдісін кей кезде төртбұрыш әдісі деп атайды.

2. (9.3) қатарын екінші туындыға дейін қысқартып, түрлендіруін жуықтаймыз:

y(t1) = y1 = y(t0) + h y’(t0 ) + h2 y’’(t0) /2! =

= y(t0) + h y’(t0 ) + (h2/2) [ (y’(t1) – y’(t0))/h] =

= y(t0) + (h/2) ( y’(t0) + y’(t1)) = y0 + (h/2) [ f(y0, to) + f(Y1,t1)] =

= y0 + (h/2) [ f(y0, to) + f(y1*,t1)].

Мұнда Y1 және y1* – Эйлер әдісі бойынша есептелінген, сәйкесінше дәл және жуықтап алынғн мән. Бұл әдіс жақсартылған Эйлер әдісі (немесе Рунге–Куттаның екінші дәреже әдісі) деп аталынды. Әдістің қателігі h3 тең. һ қадамында жанаманың иілу бұрышының түзетілуінің арқасында шешімнің дәлдігі артты. Мұнда (9.5) анықталған интегралды есептеуде трапеция әдісі қолданылады.

Нәтижесінде модифицирленген Эйлер әдісі құрастырылды.

3. Рунге-Кутте әдісі.

Өткен әдістерде шешімнің дәлдігін арттыру үшін туынды арқылы жанаманың иілу бұрыншын анықадық. Туындысыз арқылы иілу бұрышын табу үшін Рунге мен Кутте басқа әдісті ұсынды.

Мысалы геометриялық түрде N=4 болсын. (tn, yn) нүктесінде (k1/h) бұрышының тангенсін табамыз; ол арқылы жартыға бiр қадам алға жүрiп, көлбеу бұрышының тангенсiн есептеймiз; (k2/h) тангенсін тапқаннан кейін қайтадан (tn, yn) нүктесінен жартыға бiр қадам алға жүрiп, көлбеу бұрышының тангенсiн есептеймiз. Дәл солай (k4/h) дейін есептейміз. Нәтижесінде (tn, yn)-нан (tn+1, yn+1)-ге қадам жасаймыз және 4 қадам 1/6, 2/6, 2/6, 1/6 салмағымен аламыз. Бұл әдіс (9.3) Тейлер қатарындағы y1V мүшесінің сақтлынуымен сипатталады. Қысқартудың әртүрлi реттерi үшiн тиiстi тәуелдiлiктер төменде келтiрiлген.

Көп қадамды әдiстер. Бұл әдісте алдыңғы k (бірден беске дейін) нәтижесін қолданады. Сондықтан оны әдістің шешімінің жалғасы деп, ал бір қадамды әдісті шешімнің басы деп атайды. Әдісті қолдану үшін iзделiп отырған функцияның бiрнеше нүктелердегi мәнiн алдын ала есептеуге керек.

Көп қадамды әдісті келесі түрде құрастыруға болады. Интегралдың (9.5) оң жағындағы интеграл астындағы функцияны интерполяцияланған Лагранж полиномына ауыстыру керек. Сонда осы интегралды оңай есептеуге болады:

Осы ой негізінде Адамс–Башфордболжамы және Адамс–Башфорд–Моултонболжам-коррекция әдісі негізделеді. Бірінші болжам әдісінде (бастапқы жуықтау) tn+1 нүктесі алдыңғы tn-3, tn-2, tn-1, tn нүктелер арқылы интерполяцияланған полином арқылы есептелінеді. Екінші коррекцияда tn+1, tn, tn-1, tn-2 нүктелер арқылы интерполяцияланған полином арқылы есептелінеді. Мұнда yn+1 мағнасы алдыңғы болжамға негізделеді.

Басқа әдістер.

Қарапайым диференциалдық теңдеулердің сандық шешiмнiң басқа әдiстерiнiң қысқа негiзгi идеяларын қарап шығайық.

Тез өзгерiсi де, байсалды да деп аталатын қатты жүйелер үшiн iзделiп отырған функция бөлiмшелерiнен тұрады.

Мұндай жүйелер үшiн байсалды бөлiмшелерге үлкен адымын есептеулерде ұтымды таңдалатын және оның тез өзгерiсi бөлiмшелерiнде азайтылатыны анық. Ауыспалы адымды таңдау қателердiң әрбiр адымның талдау негiзінде алады. Көрcетiлген қатеге кейбiр кiру рұқсаттары беріледі.

Бақылау сұрақтары:

1. ҚДТ шешуде кейбір сандық әдістерін сипаттаңыз.

2. Эйлер әдісінің негізі ойы қандай?

3. Рунге-Кутте қай жағдайда қолданылады?

4. Адамс–Башфорд болжамы және Адамс–Башфорд–Моултон болжам-коррекция әдісінің негізгі ойы неде?

Д 13. Тақырып: Монет-Карло әдісі. Монте-Карло әдісінің мәні.

Дәріс жоспары:

1. Монет-Карло әдісі.

2. Монте-Карло әдісінің мәні.

Ддәріс тезисі

Моне-Карло әдісі.

Монте-Карло әдісі (кездейсоқ сынаулар әдісі) - математикалық немесе физикалық есептердiң шешiмi бiрнеше рет кездейсоқ сынаулар көмегiмен мүмкiндiк беретiн қабылдаулар жиынтығы. Iзделiп отырған шаманың бағалары статистикалық түрде шығады және ықтимал сипатамасынан тұрады. Кездейсоқ сынаулар iс жүзiнде кейбiр есептеулердiң кездейсоқ сандардың үстiнде шығарылған нәтижелерiмен ауыстырылады.

Монте-Карло әдісінің мәні.

Iзделiп отырған шамалары бар кейбiр есептеуiш есепте бар. Статистикалық мiнездемелерi iзделiп отырған шамалармен кездейсоқ процесстiң математикалық үлгiсi салынады. Кездейсоқ процесстi бiрнеше рет бақылаулары жүргізіледі, яғни оның iске асыруларының параметрлерiн есептейді. Алған мәлiметтер статистикалық қаралудан өтедi, осы шешімді береді.

Ізделiп отырған шаманың дәл бағасын алу үшін көп көлемде жеке жағдайлар мен статистикалық өңдеулер қажет болады. Сондықтан ЭЕМ дамуына байланысты Монте-Карло әдісі соңғы жылдары практикада қодана бастады.

Бұл әдісте мәлiметтермен және iзделiп отырған шамалардың арасындағы дәл тәуелдiлiктерді бiлуге қажетi жоқ, тек тек қана зерттелетiн есепте кездейсоқ процесстiң сәйкестiк шартын айқындалу жеткiлiктi. Сондықтан әдісті математика, физика, техниканың түрлi есептерiнiң шешiмi үшiн қолданады. Төменде Монте-Карло әдісі үшін мысалдар көрсетілген.

Бақылау сұрақтары:

1. Монте-Карло әдісінің мәні неде?

2. Қай жағдайда Монте-Карло әдісі қолданылады?

3. Ізделініп отырған шаманың дәл бағасына табу үшін не қажет?

4. Әдісте мәлiметтермен және iзделiп отырған шамалардың арасындағы дәл тәуелдiлiктерді білу қажет пе?

Д14. Тақырыбы: Кездейсоқ сандарды генерациялау тәсілі

Дәріс жоспары:

1.Кездейсоқ сандарды генерациялау тәсілі

Дәріс тезисі

Кездейсоқ сандарды генерациялау тәсілі

Монте-Карло әдісін практикалық қолдану кезінде берілген тарату заңы бар кездейсоқ сандардың үлкен таңдауын қажет етеді. Кездейсоқ сандарды генерациялау үшін мынаны қолдануға болады:

· Кездейсоқ физикалық процестердің нәтижелерін, мысалыр Гейгер есебіндегі жаңбасы;ойын сүйегін тастау;Монте-Карло ойын үйінде рулетканы айналдыру (әдістің атауы осыдан);

· Кездейсоқ сандардың бар кестелері (сенімділік теориясы әдебиетінде келтіріледі);

· Кездейсоқ сандардың кірістірілген генераторлары бар қазргі ЭЕМ; мұндай кездейсоқ санның мұндай генераторының жоқ кезінде программалық түрде генерациялауға болады.

Кездейсоқ сандарды генерациялау үшін жүйеде әртүрлі тарату заңымен функция бар. random аты бар және stats статистика пакетінде жатыр.

Бақылау сұрақтары:

1. Монте-Карло әдісін практикалық қолдану кезінде не керек?

2. Кездейсоқ сандарды генерациялау үшін нені қолдануға болады?

3. Қандай функция кездейсоқ сандарды генерациялады?

Д15. Тақырыбы: Анықталған интегралды есептеу

Дәріс жоспары:

1. Анықталған интегралды есептеу

Дәріс тезисі

Анықталған интегралды есептеу

Бұл есепті қарапайым мысалда қарастырайық. y= f(x) - J = кейбір функциядан анықталған интегралды есептеу қажет.

Осы аралықта бірдей таратуыменен 0 £ x < 1 және 0£ h < 1 бірнеше қос кездейсоқ сандарды алу тәсіл болсын дейік. Әрбір қосты (xi, hi) жазықтықта xi абсциссасы және hIординатасы (нүктені жазықтыққа «лақтыру») i-ші нүкте ретінде интерпретациялаймыз. Нүкте f(x) қисықтан жоғары орналаспайды деген шарттан, мына түрде болады:

f (xi) <= hi. (*)

Әр уақытта (*) шартты тексере отыра, «лақтыру» процесін жүзеге асыру 2N жүргізейік. (*) шатты қанағаттандыратын нүктелер саны L-ға тең болсын дейік. Онда георметриялық интерпретациясынан және анықталған интегралдан және нүктелерді бірдей таратудан шыға отыра, интеграл сандық түрде f(x) қисығына нүктенің түсу ықтималдығына тең, яғни. J » L/2N.

Көрсетілген мәндер аралығында бірдей таратуыменен кездейсоқ санның кірістірілген генераторы бар, сипатталған алгоритм дербес компьютерлерде оңай жүзеге асады. Есептеу дәлдігі N өскен сайын өседі, бірақта есептеу үшін уақытта өседі. «Лақтырылатын» нүктенің координаттар санын өсіре отыра, әдісті кратный интегралдарды есептеуге тарату қиын емес,.

Бақылау сұрақтары:

1. Анықталған интегралдарды есептеу есебін тұжырымдаңыз.

2. Есептің мысалын келтіріңіз?

3. N өсуіменен есептеудің дәлдігі қалай өзгереді?

Источник: портал www.KazEdu.kz

Другие материалы

Каталог учебных материалов

Свежие работы в разделе

Наша кнопка

Разместить ссылку на наш сайт можно воспользовавшись следующим кодом:

Контакты

Если у вас возникли какие либо вопросы, обращайтесь на email администратора: admin@kazreferat.info