Методы прогнозирования финансовых показателей

1.Модель с аддитивной компонентой

Аддитивную модель прогнозирования можно представить в виде формулы:

 

F = T + S + E

где: F – прогнозируемое значение; Т – тренд; S – сезонная компонента;

 Е – ошибка прогноза.

Алгоритм построения прогнозной модели

Для прогнозирования объема продаж, имеющего сезонный характер, предлагается следующий алгоритм построения прогнозной модели:

1.Определяется тренд, наилучшим образом аппроксимирующий фактические данные. Существенным моментом при этом является предложение использовать полиномиальный тренд, что позволяет сократить ошибку прогнозной модели.

2.Вычитая из фактических значений объёмов продаж значения тренда, определяют величины сезонной компоненты и корректируют таким образом, чтобы их сумма была равна нулю.

3.Рассчитываются ошибки модели как разности между фактическими значениями и значениями модели.

Применение алгоритма рассмотрим на следующем примере.

Исходные данные: Объемы фактических расходов бюджета _________ района, взяты из месячной и годовой отчетности финансового управления администрации ________ района. Данная статистика характеризуется тем, что значения объёма продаж имеют выраженный сезонный характер с возрастающим трендом. Исходная информация представлена в табл. 1.

табл.1

	Объем фактических расходов
1 кв. 1999 г.	24518
2 кв. 1999 г.	23778
3 кв. 1999 г.	25143
4 кв. 1999 г.	27622
1 кв. 2000 г.	26149
2 кв. 2000 г.	24123
3 кв. 2000 г.	27580
4 кв. 2000 г.	30854
1 кв. 2001 г.	29147
2 кв. 2001 г.	26478
3 кв. 2001 г.	30159
4 кв. 2001 г.	33149
1 кв. 2002 г.	32451

Реализуем алгоритм построения прогнозной модели, описанный выше. Решение данной задачи рекомендуется осуществлять в среде MS Excel, что позволит существенно сократить количество расчётов и время построения модели.

1. Определяем тренд, наилучшим образом аппроксимирующий фактические данные. Для этого рекомендуется использовать полиномиальный тренд, что позволяет сократить ошибку прогнозной модели)

Таблица 2.
Расчёт значений сезонной компоненты

 

		Значение тренда	Сезонная компонента
1 кв. 1999 г.	24518	24518	0
2 кв. 1999 г.	23778	24962	-1184
3 кв. 1999 г.	25143	25012	131
4 кв. 1999 г.	27622	25217	2405
1 кв. 2000 г.	26149	26098	51
2 кв. 2000 г.	24123	26958	-2835
3 кв. 2000 г.	27580	27495	85
4 кв. 2000 г.	30854	28017	2837
1 кв. 2001 г.	29147	28964	183
2 кв. 2001 г.	26478	29617	-3139
3 кв. 2001 г.	30159	30498	-339
4 кв. 2001 г.	33149	31485	1664
1 кв. 2002 г.	32451	32451	0

Скорректируем значения сезонной компоненты таким образом, чтобы их сумма была равна нулю.

Таблица 3. Расчет средних значений сезонной компоненты
	1999 г.	2000 г.	2001 г.	Итого	Среднее	Сезонная компонента
1 кв.	0	51	183	234	78	89,75
2 кв.	-1184	-2835	-3139	-7158	-2386	-2374,25
3 кв.	131	85	-339	-123	-41	-29,25
4 кв.	2405	2837	1664	6906	2302	2313,75
				Сумма	-47	0
					-11,75

3. Рассчитываем ошибки модели как разности между фактическими значениями и значениями модели.

Таблица 4.
Расчёт ошибок

	расходы	Значение модели	Отклонение
1 кв. 1999 г.	24518	24607,75	-89,75
2 кв. 1999 г.	23778	22587,75	1190,25
3 кв. 1999 г.	25143	24982,75	160,25
4 кв. 1999 г.	27622	27530,75	91,25
1 кв. 2000 г.	26149	26187,75	-38,75
2 кв. 2000 г.	24123	24583,75	-460,75
3 кв. 2000 г.	27580	27465,75	114,25
4 кв. 2000 г.	30854	30330,75	523,25
1 кв. 2001 г.	29147	29053,75	93,25
2 кв. 2001 г.	26478	27242,75	-764,75
3 кв. 2001 г.	30159	30468,75	-309,75
4 кв. 2001 г.	33149	33798,75	-649,75
1 кв. 2002 г.	32451	32540,75	-89,75

Находим среднеквадратическую ошибку модели (Е) по формуле:

Е= Σ О² : Σ (T+S)²

где:
Т- трендовое значение объёма расходов;
S – сезонная компонента;
О- отклонения модели от фактических значений

Е=(3079106/(361151*361151))*100% = 0,002361%

Величина полученной ошибки позволяет говорить, что построенная модель хорошо аппроксимирует фактические данные, т.е. она вполне отражает экономические тенденции, определяющие объём расходов, и является предпосылкой для построения прогнозов высокого качества.

2. Модель с мультипликативной компонентой.

В некоторых временных рядах значение сезонной компоненты не является константой, а представляет собой определенную долю -фондового значения, т.e. значение сезонной компоненты увеличивается с возрастанием значений тренда. Например, рассмотрим график следующих данных об объе­мах расходов. Объем продаж этого продукта так же, как и в предыдущем при­мере, подвержен сезонным колебаниям, и значения его в разные кварталы разные. Однако размах вариации фактических значении относительно линии тренда постоянно возрастает. Такую ситуацию можно представить с помощью модели с мультипликативной компонентой

A=T*S*Е

1.3.1. Расчет сезонной компоненты

Отличие расчета сезонной компоненты для мультипликативной мо­дели от аддитивной модели заключается лишь в том, что в колонку 6 вписы­ваются коэффициенты сезонности (аналог оценок сезонной компоненты в ад­дитивной модели)

Сезонные коэффициенты представляют собой доли тренда, по­этому принимают, что их сумма должна равняться количеству сезонов в году, т.е. 4, а не нулю, как в аддитивной модели.

		Итого за 4 квартала	Скользящая средняя за 4 квартала	Центрированная скользящая средняя	Оценка сезонной компоненты
	Y		S	T	Y/T=S*E
1 кв. 1999 г.	24518
2 кв. 1999 г.	23778
3 кв. 1999 г.	25143	101061	25265,25
4 кв. 1999 г.	27622	102692	25673	25469,125	1,084528817
1 кв. 2000 г.	26149	103037	25759,25	25716,125	1,016832824
2 кв. 2000 г.	24123	105474	26368,5	26063,875	0,925533905
3 кв. 2000 г.	27580	108706	27176,5	26772,5	1,030161546
4 кв. 2000 г.	30854	111704	27926	27551,25	1,119876594
1 кв. 2001 г.	29147	114059	28514,75	28220,375	1,032835318
2 кв. 2001 г.	26478	116638	29159,5	28837,125	0,918191394
3 кв. 2001 г.	30159	118933	29733,25	29446,375	1,024200772
4 кв. 2001 г.	33149	122237	30559,25	30146,25	1,099606087
1 кв. 2002 г.	32451

Десезонализация данных при расчете тренда

Десезонализация данных производится по формуле:

Точки, образующие представленный на графике тренд, достаточно сильно разбросаны, что более близко к реальной действительности, чем в предыдущем примере.

	1999 г.	2000 г.	2001 г.	Итого	Среднее	Сезонная компонента
1 кв.		1,0168	1,0328	2,0496	0,6832	0,912225
2 кв.		0,9255	0,9182	1,8437	0,6146	0,843592
3 кв.		1,0302	1,0242	2,0544	0,6848	0,913825
4 кв.	1,0845	1,1199	1,0996	3,304	1,1013	1,330358
				Сумма	3,0839	4
				0,9161	0,229

	Фактический объем расходов	Сезонная компонента	Десезонолизированный объем продаж
	Y	S	Y/S
1 кв. 1999 г.	24518	0,912225	26877,14106
2 кв. 1999 г.	23778	0,843591667	28186,62267
3 кв. 1999 г.	25143	0,913825	27514,02074
4 кв. 1999 г.	27622	1,330358333	20762,82706
1 кв. 2000 г.	26149	0,912225	28665,07715
2 кв. 2000 г.	24123	0,843591667	28595,58831
3 кв. 2000 г.	27580	0,913825	30180,83331
4 кв. 2000 г.	30854	1,330358333	23192,2477
1 кв. 2001 г.	29147	0,912225	31951,54704
2 кв. 2001 г.	26478	0,843591667	31387,22328
3 кв. 2001 г.	30159	0,913825	33003,03669
4 кв. 2001 г.	33149	1,330358333	24917,34683
1 кв. 2002 г.	32451	0,912225	35573,46049

Расчет ошибок

Ошибки прогнозируемых объемов расходов расчитывают по формуле:

E =A/(T*S)

	Объем расходов	Сезонная компонента	Тренд	Ошибка
1 кв. 1999 г.	24518	0,912225	26877,1411	1
2 кв. 1999 г.	23778	0,84359167	28186,6227	1
3 кв. 1999 г.	25143	0,913825	27514,0207	1
4 кв. 1999 г.	27622	1,33035833	20762,8271	1
1 кв. 2000 г.	26149	0,912225	28665,0771	1
2 кв. 2000 г.	24123	0,84359167	28595,5883	1
3 кв. 2000 г.	27580	0,913825	30180,8333	1
4 кв. 2000 г.	30854	1,33035833	23192,2477	1
1 кв. 2001 г.	29147	0,912225	31951,547	1
2 кв. 2001 г.	26478	0,84359167	31387,2233	1
3 кв. 2001 г.	30159	0,913825	33003,0367	1
4 кв. 2001 г.	33149	1,33035833	24917,3468	1
1 кв. 2002 г.	32451	0,912225	35573,4605	1

Можно предположить, что величина ошибки второго прогноза будет несколько ниже чем первого.

3. Прогноз методом скользящей средней и экспоненциального сглаживания.

Для предсказаний значений временного ряда можно использовать более простую методику.

При расчете скользящей средней Y_t^{np c} (m) все m значений параметра Y за m моментов времени учитываются с одинаковым весовым коэффициентом 1/m что не всегда обосновано. Для прогнозирования технико – экономических трендов момент времени, в котором наблюдалось значение параметра Y, играет решающее значение. Естественно предположить, что за­висимость во временных рядах постепенно ослабевает с увеличением перио­да между двумя соседними точками. Так, если зависимость прогнозируемою параметра Y_t представляется более сильной от значения Y_t-1, чем от Y_t-s  то

наблюдениям временного ряда следует придавать веса, которые должны уменьшаться но мере удаления oт фиксированного момента времени t. Это обстоятельство учитывается в методе экспоненциального сглаживания. Таким образом, при вычислении .ко экспоненциальной средней используются лишь предшествующая экспоненциальная средняя и последнее наблюдение, а все предыдущие наблюдения игнорируются.

Например, пусть необходимо дать прогноз для t-=8 но данным следую­щего временного ряда: 1) методом скользящей средней для m=3, m =4$ 2) методом экспоненциального о сглаживания для =0,2; 0,6.

1 кв. 1999 г.	24518
2 кв. 1999 г.	23778
3 кв. 1999 г.	25143
4 кв. 1999 г.	27622
1 кв. 2000 г.	26149
2 кв. 2000 г.	24123
3 кв. 2000 г.	27580
4 кв. 2000 г.	30854
1 кв. 2001 г.	29147
2 кв. 2001 г.	26478
3 кв. 2001 г.	30159
4 кв. 2001 г.	33149
1 кв. 2002 г.	32451

Метод скользящей средней

Y₁₄^{пр с}(3) = (30159+33149+32451)/3=31919,67

Y₁₄^{пр с} (13) = (24518+23778+25143+27622+26149+24123+27580+30854+29147+ 26478+30159+33149+32451)/13 = 27780,846

Метод экспоненциального сглаживания

		0,2	погрешность
1 кв. 1999 г.	24518	#Н/Д	#Н/Д
2 кв. 1999 г.	23778	23778	#Н/Д
3 кв. 1999 г.	25143	24870	#Н/Д
4 кв. 1999 г.	27622	27071,6	#Н/Д
1 кв. 2000 г.	26149	26333,52	1851,838704
2 кв. 2000 г.	24123	24565,1	2106,426154
3 кв. 2000 г.	27580	26977,02	2223,149967
4 кв. 2000 г.	30854	30078,6	3109,499653
1 кв. 2001 г.	29147	29333,32	2886,08454
2 кв. 2001 г.	26478	27049,06	2831,47259
3 кв. 2001 г.	30159	29537,01	2496,160001
4 кв. 2001 г.	33149	32426,6	3207,855423
1 кв. 2002 г.	32451

 

		0,6	погрешность
1 кв. 1999 г.	24518	#Н/Д	#Н/Д
2 кв. 1999 г.	23778	23778	#Н/Д
3 кв. 1999 г.	25143	24324	#Н/Д
4 кв. 1999 г.	27622	25643,2	#Н/Д
1 кв. 2000 г.	26149	25845,52	2081,334719
2 кв. 2000 г.	24123	25156,51	2167,926259
3 кв. 2000 г.	27580	26125,91	1741,283327
4 кв. 2000 г.	30854	28017,14	3224,65661
1 кв. 2001 г.	29147	28469,09	3136,065979
2 кв. 2001 г.	26478	27672,65	3032,922749
3 кв. 2001 г.	30159	28667,19	1951,31804
4 кв. 2001 г.	33149	30459,91	3174,532132
1 кв. 2002 г.	32451

рис. 8.

Число членов скользящей средней m и параметр -экспоненциального сглаживания ( определяется статистикой исследуемою процесса. Чем мень-ше m и чем больше , тем сильнее peaгирует пpoгноз на колебания временно­го ряда, и наоборот, чем больше m и чем меньше , чем более инерционным является процесс прогнозирования. Для подбора оптимального параметра прогнозирования необходимо провести сглаживание временною ряда с по­мощью нескольких различных значений параметра m или  затем опреде­лить среднюю ошибку прогнозов и выбрать параметр, соответствующий минимальной ошибке.