Методы алгебраических и дифференциальных уравнений для анализа и качественного исследования социально-экономических явлений (По дисциплине: Математические методы моделирования процессов управления в социальной сфере)

Заказать работу

Санкт-Петербургский Государственный Технический Университет

Гуманитарный факультет
Кафедра социологии и права
РЕФЕРАТ

На тему : Методы алгебраических и дифференциальных уравнений для анализа и качественного исследования социально-экономических явлений.


По дисциплине: Математические методы моделирования процессов управления в социальной сфере


Выполнил :

Студент Кириллова Н.В.

Группы 5121/1

Проверил:

Руководители Романов М.Ф. Максимов Ю.Д.
Санкт-Петербург

2000 г.


ВВЕДЕНИЕ


Рынок представляет собой систему саморегулирования экономики по таким параметрам, как величина покупательного спроса, качество продукции, общественно необходимые затраты труда, объем производства товаров и услуг. Механизм саморегулирования включает в себя свободные рыночные цены, экономическую конкуренцию между производителями, свободный выбор деловых партнеров.

Регулирование рынка со стороны центра осуществляется с помощью экономических рычагов - таких, как налоговая, финансовая и кредитная политика, цены на отдельные группы товаров, система дотаций и социальной защиты человека. В процессе регулирования рынка должны учитываться экономические интересы как производителей, так и потребителей.

Естественно, что для описания некоторых элементов рыночного механизма используются простейшие математические модели. Такие модели отображают только самые общие свойства экономических систем. В данной работе приводится способ исследования социально-экономических явлений путем составления алгебраических и дифференциальных уравнений.

1. Простейшая модель изменения зарплаты и занятости


Характерная черта рыночной системы хозяйства - наличие рынка труда, на котором взаимодействуют работодатели и наемные рабочие. Пусть все участники рынка труда располагают на этом рынке одинаковой информацией в одинаковом объеме и принимают на основе этой информации наилучшие, оптимальные для себя решения. Взаимодействие спроса и предложения на этом цивилизованном рынке приводит к равновесию, при котором за плату' p > 0 согласны работать N > 0 человек. Если по каким-то причинам это равновесие со временем нарушается (например, часть работников уходит на пенсию по возрасту, либо у работодателя возникают финансовые трудности), то функции P(t) и N(t) отклоняются от р ,N .

Функции P(t) и N(t) рассматриваются как непрерывные и достаточно гладкие. Эти условия принимаются исключительно из соображений, связанных с математическими действиями, основывающимися на свойствах достаточно гладких решений.

Будем считать, что число работников увеличивается или уменьшается пропорционально росту или уменьшению зарплаты относительно значения p .


Тогда

(1)


Предположим, что работодатели изменяют зарплату также пропорционально отклонению численности занятых от равновесного значения n ,т. е.

(2)


Дифференцируя равенство (1) по t, получим d N/dt2 = a dP/dl. Из этого равенства в силу (2) следует d N/dt -= -a a (N - n ), откуда

(3)


Общее решение уравнения (3), имеет вид

(4)


где C и С - произвольные постоянные.

Из (1) в силу (4) получаем

(5)


Умножим уравнения (4), (5) соответственно на и , возведем затем в квадрат левые и правые части получившихся равенств. После сложения левых и правых частей будем иметь

(P-P )2+ (N-No) 2=const>0. (6)


Рассматривая значения переменных N, Р как координаты точки на плоскости, можно геометрически представить состояние рынка посредством точки M(N,P). Эту точку в теории дифференциальных уравнений называют фазовой точкой, а плоскость ONP, на которой интерпретируется решение (6), - фазовой плоскостью. Решение (3), (4) представляет собой некоторый закон движения точки M(N,P) на фазовой плоскости.

Из графика кривой (6) видно (рис. 1), что при различных значениях const мы будем получать различные эллипсы с центром в точке (n , P ), отвечающие соответствующим начальным условиям N и Р.



Рис 1.

Соотношение между зарплатой (Р) и числом

работников (N) при нарушении равновесия.


Точка M(N,P), находящаяся на эллипсе, опишет за конечное время замкнутую кривую и за время t=2 / возвратится в свое начальное положение, возобновив то же самое движение. Следовательно, имеется периодичность с периодом 2 / .

Из уравнения (6) видно (см. также рис. 1), что в некоторые моменты времени t, когда N = N (т. е. когда число занятых становится равным равновесному значению), имеем Р>Р , т.е. зарплата превышает равновесную, а при Р = p получаем N > n , т. е. число занятых больше равновесного. В эти моменты фонд заработной платы, равный PN, превышает равновесное значение PoNo или меньше его). Но в среднем за период колебаний величина PN , равна PoNo .

Замечание. Построенная модель основана на правдоподобных представлениях о характере взаимодействия работодателя и наемных рабочих.

2. Равновесие в краткосрочном периоде, в условиях совершенной конкуренции

Любой участник рыночного экономического процесса действует в соответствии со своими индивидуальными интересами (извлечение прибыли, улучшение условий труда, минимизация риска, экономия ресурсов и т. д.). Миллионы потребителей принимают самостоятельные решения, какие товары и в каком количестве покупать, а огромное число предпринимателей самостоятельно решают, что и как производить.

Координацию всех независимо принимаемых решений осуществляет рыночный механизм, важную роль в котором играет конкуренция. Она сдерживает частные интересы, направляет их на производство общественно необходимых товаров. Конкуренция непременно приводит к тому, что ограниченные ресурсы используются более полно и эффективно. Они устремляются в те отрасли, которые производят необходимую для потребителя и рентабельную для товаропроизводителя продукцию.

Одной из главных целей экономики как науки является исследование того, как взаимодействие спроса и предложения приводит к равновесию на конкурентном рынке в условиях, когда индивидуальные решения участников рынка мотивируются собственным частным интересом и вовсе не направлены на достижение равновесия между производством и потреблением. В этой главе исследуется простейший вариант рыночной экономики, введя понятие «совершенный конкурентный рынок», т. е. рынок, каждый субъект которого экономически ничтожно мал и не оказывает непосредственного влияния на уровень производства, цены, зарплату, и все участники рыночного процесса, располагая одинаковой информацией, принимают на ее основе наилучшие, оптимальные для себя решения. Теория совершенного конкурентного рынка может служить основой для выявления закономерностей, внутренне присущих другим рыночным структурам.

Картину совершенного конкурентного рынка можно сравнить с идеальной механической системой, в которой совершенно не учтено трение между ее деталями и элементами. И совершенный конкурентный рынок, и упомянутая идеальная механическая система позволяют определять главные особенности изучаемых явлений, однако на практике необходимо учитывать и трение в механической конструкции, и многие факторы, действующие на конкретном реальном конкурентном рынке.

При рассмотрении совершенного конкурентного рынка будем исходить из того, что разобщенные действия участников рыночного экономического процесса могут складываться через существующую систему отношений купли-продажи в совокупную согласованную картину действий работодателей и наемных рабочих, финансистов и вкладчиков и т. д. Если в результате такого коллективного взаимодействия общее производство товаров и услуг согласовано с общим спросом на них, то такое состояние экономики называется равновесным, а устанавливающиеся при этом цены - равновесными рыночными ценами. Баланс между спросом и предложением имеет место, не при произвольных, а именно при рыночных ценах, что означает, в частности, платежеспособность спроса.

Наиболее простые математические модели экономического равновесия в условиях совершенной конкуренции строятся при следующих предположениях:

I. Объемы производства отдельных товаропроизводителей столь незначительны в сравнении с выпуском всей отрасли и изменяются в таких пределах, что это не оказывает никакого влияния на цену продаваемого товара.

II. Производственные возможности отрасли, где функционирует фирма-товаропроизводитель, неизменны.

III. Неизменны во времени экономические интересы партнеров: предприниматели не пытаются увеличить свою прибыль, рабочие - зарплату, инвесторов устраивают проценты, получаемые по ценным бумагам, и т. д.

Отвечающие таким предположениям модели описывают равновесное состояние идеальной рыночной экономики в краткосрочном периоде. Этот весьма частный случай «застывшей» во времени экономики дает ответ на вопрос о возможности существования экономического равновесия, формирующегося из рыночного «хаоса», и, кроме того, связывает между собой основные макропоказатели экономической системы.

Рассмотрим одну из таких макромоделей - модель Кейнса. В этой модели краеугольным камнем является положение о том, что рыночная экономика защищена от спада, что существуют определенные механизмы саморегулирования, постоянно приводящие объем выпускаемой продукции к уровню, соответствующему полной занятости. Если под влиянием каких-то факторов внешнего происхождения (война, неурожай и т. п.) произойдет спад производства, это не будет длиться долго. Цены, заработная плата и процентная ставка являются гибкими, и они вернут экономику в равновесное состояние, когда рабочая сила будет полностью нанята, и все, что произведено, - продано. Конкуренция уравняет спрос и предложение на всех рынках. В этом случае нет необходимости государственного вмешательства в экономику.

В кейнсианской модели все участники рыночного экономического процесса действуют на рынках рабочей силы, продуктов и денег, где эти товары (труд, продукты, деньги) распределяются и обмениваются между субъектами рыночной экономики.

Первый макропоказатель экономической системы - национальный доход Q, является единственным (для простоты) продуктом, производимым этой системой в единицу времени. Этот продукт вырабатывается производственным сектором экономики, а его величина дается функцией F, зависящей от количества и качества ресурсов, состава основных фондов и числа занятых работников R (второй макропоказатель). В соответствии с предположением II в состоянии равновесия производственная функция F, а с нею и продукт Q определяются лишь занятостью работников, т. е.


Q=F{R). (1)

Относительно F(R) обычно считается, что F(0}=О, F'(R)>О при R>0 и F"(R)0 (рис. .2). Функция F(R) обладает свойством «насыщения»: с ростом R выпуск растет все медленнее.



Q Q=F(R)


Рис 2. Соотношение между

рынками труда (R) и продукта(Q)


O R


Такой подход вполне оправдан, поскольку при излишне большом числе занятых на производстве для них попросту не найдется соответствующего фронта работ.

Соотношение, дополнительное к соотношению (1), определяется с помощью одного из основных постулатов классической политэкономии:

IV. Заработная плата s работника равна стоимости продукта, которая была бы потеряна при уменьшении занятости на одну единицу.

В этом постулате не учитываются (считаются малыми) другие издержки, которые отпали бы в результате сокращения одного рабочего места (затраты на ресурсы, оборудование и т д.). В рассматриваемой модели заработная плата считается заданной. Она определяется в результате компромисса между работодателями и нанимаемыми (реальная же зарплата зависит также от уровня цен).

Таким образом, из постулата IV получаем

(2)


где .Q(1) - количество продукта, потерянное при уменьшении занятости на одну единицу, Р - цена продукта (так что слева в равенстве (2) записана величина потерянной стоимости). Если занятость изменилась на величину R, то из равенства (2), очевидно, имеем

P=s R, (3)

где Q = Q R - стоимость, потерянная или полученная при изменении числа работников на R. Из равенства (3) следует

(4)


Считая R и Q малыми в сравнении с R и Q, перепишем равенство (4) в дифференциальной форме:

(5)


Из (5), принимая во внимание (1), получим

F'(R)=s/P. (6)


Поскольку F(R) задана (а с нею и производная F'(R)), то при известных макропоказателях s и Р из (6) можно найти уровень занятости R, а из (1) - и величину продукта Q. Этот уровень отвечает числу работников, согласных трудиться за данную зарплату при данных ценах и других характеристиках системы, а не вообще возможному числу наемных рабочих. Предполагается, что для обеспечения равновесного уровня занятости всегда найдется достаточное количество желающих работать на существующих условиях, т. е.:

V. Предложение труда не сдерживает производство, число занятых определяется спросом на труд со стороны предпринимателей.

Два уравнения (1) и (6) содержат четыре величины. Для построения замкнутой модели необходимо дальнейшее рассмотрение рынка продуктов и рынка финансов.

Произведенный на рынке продукт частично тратится на потребление, а частично сберегается:

Q=S+, (7)


где S - фондообразующий продукт, т. е. сберегаемая часть произведенного продукта, возвращаемая в экономическую систему, а  - потребляемая часть продукта, которая в экономику не возвращается.


Рис. 3. Соотношение между потребляемой частью прдукта () и всем производимым продуктом (Q).

Соотношение между величинами S и  определяется из следующих соображений. Относительно величины  считается, что:

VI. Потребляемая часть выпуска зависит от величины самого выпуска, т. е.  =(Q). При этом функция  (Q) обладает свойством «насыщения» так же, как и функция F(R): чем больше выпуск, тем меньшая доля дополнительного выпуска Q тратится на потребление (рис. 3) и тем большая доля сберегается. Величина d/dQ=c(Q) называется склонностью к потреблению и лежит в пределах 0 < с < 1. иначе при малых выпусках потреблялось бы больше продукта, чем производилось бы (величина d = 1 - с - склонность к накоплению).


Рис. 4. Зависимость спроса на инвестиции (А) от нормы банковского процента (r).

Фондообразующий продукт

s = q -  (Q) (8)

вкладывается инвесторами в экономику с целью получить в будущем от этих инвестиций доход. В модели считается, что инвестиции эквивалентны отложенному (отнесенному на будущее) потреблению и потому определяются еще одним финансовым макропоказателем системы - нормой банковского процента r. Действительно, cделав инвестиции в размере (А) и получив через год доход D = Аr, инвестор ничего не теряет (в данном примере и не выигрывает) по сравнению с вложением этих средств в банк под процент r. В обоих случаях сегодняшнее потребление откладывается ради возможности большего потребления в следующем году. Спрос на инвестиции задается функцией А(r) такой, что А'(r)

Другие материалы

  • Теория экономического анализа
  • ... ;     3 240 тыс. руб.; г)         2 754 тыс. руб. 10. Приемы экономического анализа, с помощью которых определяют изменение показателя в динамике: а)         сравнение; б)    & ...

  • Основы общей экономической теории
  • ... экономика является ветвью общей экономической теории, относящейся к разделу «Мезоэкономика», то есть рассматриваем региональную экономику как часть крупную подсистему национальной экономики (Макроэкономики). Курс методологически опирается на основы экономической теории и органически связан с ...

  • Исследования в современном управлении
  • ... нашли свое выражение в кибернетике - науке об управлении и системном анализе, особым предметом исследования которых являются сложные и очень сложные системы окружающего мира. 4.4 Организационные системы Традиционно современная кибернетика рассматривала, в основном, простые и сложные ...

  • Применение информатики, математических моделей и методов в управлении
  • ... алгоритмов, применяющихся в планировании и других экономических расчетах. IV. Заключение Как видно из всего вышесказанного, значение математических моделей и информатики в управлении велико. В ближайшие 10 лет мир изменится сильнее, чем за предыдущие 50. И от того, насколько правильно мы сможем ...

  • Математическое моделирование производственной деятельности
  • ... При получении услуги приобретается новое состояние потребителя услуг, именуемое категорией “норма". Специфический вид производственной деятельности в сфере услуг, наполненный экономическими параметрами, в системе рынка трансформируется в условный своеобразный образ товара, выступающего в форме ...

  • История экономических учений
  • ... независимого ученого. “Я не принадлежу к школе рейганомики, – заявлял он, – как и не держу сторону поставщиков. Но считаю, что было бы просто великолепно ослабить излишнее правительственное давление на производство”. Важной, хотя и малозаметной сферой работы С. была история экономической мысли. Он ...

  • Достаточно общая теория управления (Расовые доктрины в России: их возможности и целесообразность следования им в исторической перспективе)
  • ... атеизм с логикой достаточно общей теории управления в настоящем изложении несовместим. Атеистические же вариации на темы теории управления либо ставят человека (человечество в целом) на место Бога, либо утрачивают общность изложения, как только соприкасаются с темой глобальный исторический процесс, ...

  • Методы и формы научного познания
  • ... -либо объекта или яв­ления, в понимании его сущности, форм существования, зако­номерностей его развития и т. д. 4. Методы научного познания. 4.1. Понятие метода и методологии. Классификация методов научного познания. Понятие метод (от греческого слова «методос» — путь к чему-либо) означает ...

  • Асимптотика решений дифференциальных уравнений
  • ... научно-технической программы «Физика квантовых и волновых процессов» (проект 1.61) и физического учебно-научного центра «Фундаментальная оптика и спектроскопия». 1. Асимптотическое поведение решений дифференциальных уравнений с малым параметром Многие колебательные системы описываются ...

  • Основные этапы и цели моделирования
  • ... сложной системы - это комплекс сложных научно-технических задач. При создании рассматривают следующие основные этапы: v    определение цели моделирования; v    идентификация реальных объектов; v    выбор вида моделей; v    построение ...

  • Экономико-статистический анализ основных показателей деятельности внутреннего водного транспорта
  • ... происходило снижение. Таким образом, по результатам проведенного анализа мы видим ухудшение основных показателей деятельности внутреннего водного транспорта в РФ. 2.2 Оценка структуры и динамики структуры экономико-статистических показателей внутреннего водного транспорта Далее проведем ...

  • Методология и методы экономической теории
  • ... объяснимым стремлением преодолеть имевшиесяв рамках одного предмета (науки) односторонности. В меньшей степени это относится к методологии (общим методам экономической теории), поскольку существует опасность потери целостности исследования. В последний период стала набирать силу позиция понимания ...

Каталог учебных материалов

Свежие работы в разделе

Наша кнопка

Разместить ссылку на наш сайт можно воспользовавшись следующим кодом:

Контакты

Если у вас возникли какие либо вопросы, обращайтесь на email администратора: admin@kazreferat.info