Поиск по сайту


Каталог учебных материалов

Свежие работы в разделе

Наша кнопка

Разместить ссылку на наш сайт можно воспользовавшись следующим кодом:


Контакты

Если у вас возникли какие либо вопросы, обращайтесь на email администратора: admin@kazreferat.info

Метод решения уравнений Ньютона - Рафсона

Узнать стоимость написания работы

Метод Ньютона-Рафсона, также известный как Метод Ньютона, представляет собой обобщенный метод поиска корня уравнения

(1)

Примем x = xj в качестве j-го приближения к корню уравнения (1). Предположим, что xj не является решением. Следовательно, . Предположим также, что мы получили разложение в ряд Тейлора для уравнения (1) относительно точки x = xj:

(2)

Если примем в качестве следующего члена x = xj+1, то уравнение (2) будет иметь вид:

(3)

Теперь предположим, что справедливо необязательное допущение того, что предыдущее приближение xj было удовлетворительным, так что xj+1 - xj мало. Если это предположение верно, мы можем пренебречь членами более высокого порядка в уравнении (3), так как n-я степень малой величины значительно меньше, чем малая величина для n>=2. В этом случае уравнение (3) может быть аппроксимировано следующим образом:

(4)

Нашей целью является выбор такого xj+1, чтобы оно стало решением уравнения (1). Следовательно, если наше предыдущее предположение справедливо, xj+1 должно быть выбрано таким, что. Приравняв уравнение (4) к нулю и решив относительно xj+1, получим:

(5)

Уравнение (5) называется уравнением Ньютона - Рафсона. Если наше предположение, приведшее к выводу уравнения (5), справедливо, этот алгоритм будет сходящимся, но только в том случае, если точка начального приближения достаточно близка к точке решения. Геометрическая интерпретация сходящегося метода Ньютона - Рафсона приведена на рис. 1а.

а) метод сходится б) метод не сходится

Рис.1. Геометрическая интерпретация метода Ньютона - Рафсона

Однако, если точка начального приближения далека от точки решения, то метод Ньютона - Рафсона может не сходиться совсем. Геометрическая интерпретация не сходящегося метода Ньютона - Рафсона приведена на рис. 1б.

Алгоритм

Назначение: поиск решения уравнения (1)

Вход:

Начальное приближение x0

Точность (число итераций I)

Выход:

xI - решение уравнения (1)

Инициализация:

calculate f’(x0)

Шаги:

1. repeat:

2. calculate xi using (5)

3. let i=i+1

4. if i>I then break the cycle

end of repeat

Модификация алгоритма Ньютона для решения системы нескольких уравнений заключается в линеаризации соответствующих функций многих переменных, т. е. аппроксимации их линейной зависимостью с помощью частных производных. Например, для нулевой итерации в случае системы двух уравнений:

Чтобы отыскать точку, соответствующую каждой новой итерации, требуется приравнять оба равенства нулю, т.е. решить на каждом шаге полученную систему линейных уравнений.

Список литературы

Для подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://www.xaoc.ru/

Другие материалы

  • Нахождение корней уравнения методом Ньютона (ЛИСП-реализация)
  • ... теории фракталов. Целью данной курсовой работы является Лисп – реализация нахождения корней уравнения методом Ньютона. 1. Постановка задачи Дано уравнение: . Требуется решить это уравнение, точнее, найти один из его корней (предполагается, что корень существует). Предполагается, что ...

  • Разработка компьютерного лабораторного практикума "Теория оптимизации и численные методы"
  • ... 3.   Организационно-экономическое обоснование проекта В ходе дипломного проекта был разработан компьютерный лабораторный практикум по курсу «Теория оптимизации и численные методы». В данном разделе рассмотрена экономическая сторона проекта. Рассмотрены следующие вопросы: 1)   ...

  • Нахождение корня нелинейного уравнения. Методы решения системы нелинейных уравнений
  • ... для комплексных корней) удовлетворительных способов подбора начального приближения нет. Рассмотрим два основных итерационных метода решения системы уравнений (1), (2) - метод простой итерации и метод Ньютона. 2. Методы решения системы нелинейных уравнений   2.1.Метод простой итерации ...

  • Расчет и анализ потерь активной мощности
  • ... копируется в рабочие файлы. Для моделирования, анализа и хранения режимов создана база режимов (до 12 режимов). Предусмотрена возможность записи произвольного режима, являющегося результатом решения одной из задач, в базу режимов. Все расчеты, включая и формирование отображаемых на дисплеях кадров ...

  • САПР (Cosmos/M)
  • ... /M.  SINDA Двунаправленный интерфейс для передачи данных между программой анализа теплопроводности SINDA'87 и SINDA'85 и системой COSMOS/M. NODSTAR/GEOSTAR Входной командный файл для NODSTAR может быть сгенерирован в среде GEOSTAR с помощью команды MODINPUT. Входной командный файл для GEOSTAR ...

  • Лекции по ТОЭ
  • ... уравнения для цепи рис. 4, приняв, что дерево образовано ветвями 3 и 4 (см. рис. 5). Ответ:  Теория / ТОЭ / Лекция N 7. Преобразование энергии в электрической цепи. Мгновенная, активная, реактивная и полная мощности синусоидального тока. ...

  • Математический анализ
  •   Задача 2 Для функции g(x), заданной своими значениями в шести точках, составить таблицу всех повторных разностей. Преобразовать функцию g(x) с помощью линейного преобразования x = a + b * k в функцию G(k) с целочисленным аргументом k. В качестве проверки правильности заполнения таблицы ...

  • Стаціонарні та рівномірно-обертові конфігурації точкових вихорів
  • ... їна В.І.Моссаковського (1919-2006), 17-19 жовтня 2007 р. – Дніпропетровськ, 2007. – С. 173-174. АНОТАЦІЇ   Губа А.О. Стаціонарні та рівномірно-обертові конфігурації точкових вихорів. – Рукопис. Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю ...

  • Проблема анализа доходности финансовых операций
  • ... К=(Р/N)*100, где К- курс облигации, Р-рыночная цена,N –номинал облигации. При анализе доходности облигаций различают следующие ее виды: 1-купонная доходность – определяется при выпуске облигаций(g), 2-текущая доходность – отношение поступлений по купонам к цене приобретения облигации(it), 3-полная ...

  • Дискретизация и квантование изображений
  • ... шума [11]. Расстояние между отсчетами должно удовлетворять теореме Найквиста для двумерных колебаний [1]. Устройства для дискретизации и квантования изображений основаны на технике микроденситометрии. В подобных системах на пленку проектируется луч света с интенсивностью I1. Интенсивность I2 света ...

  • Сравнительный анализ рециркуляционных схем на примере реакции изомеризации
  • ... процессах с различной организацией подачи рецикла для реакции изомеризации типа АВ. Глава 2. Расчетно-аналитическая часть 2.1. Анализ стационарных состояний рециркуляционного реакционно-ректификационного процесса. В рециркуляционных схемах существуют различные варианты подачи рецикла. ...

  • Ивасенко А.Г. и др. Финансовый менеджмент
  • ... просты и понятны, так как с ними приходится сталкиваться довольно часто тем, кто берет или дает деньги взаймы. Однако для финансового менеджмента значительно более важное значение имеет дисконтирование денежных потоков, приведение их будущей стоимости к современному моменту времени для обеспечения ...

Rambler's Top100 Рейтинг@Mail.ru
Рефераты и материалы размещенные на сайте принадлежат их законным правообладателям. При использовании материалов сайта, ссылка на KazReferatInfo обязательна!
Казахстанские рефераты
Copyright © 2007-2016г. KazReferatInfo