Математичне програмування

Заказать работу

Завдання 1

При продажу двох видів товарів (А і В) торгове підприємство використовує чотири види ресурсів. Норми затрат ресурсів на 1 од. товару, об’єм ресурсів наведені в таблиці. Дохід від реалізації 1 од. товару А складає 2 грн., товару В – 3 грн.

Ресурси Норма витрат ресурсів на 1 од. тов. Запас ресурсів
А В
1 2 2 12
2 1 2 8
3 4 0 16
0 0 4 12
Дохід, грн. од. 2 3

Визначити оптимальний план реалізації товарів, що забезпечує для торгового підприємства максимальний прибуток.

Розв’язок

Складаємо математичну модель задачі. Позначимо через х1 кількість товарів 1-ї моделі, що реалізує підприємство за деяким планом, а через х2 кількість товарів 2-ї моделі. Тоді прибуток, отриманий підприємством від реалізації цих товарів, складає

∫ = 2х1+3х2.

Витрати ресурсів при продажу такої кількості товарів складають відповідно:

CI =2х1 + 2х2,

CII =1х1 + 2х2,

CIII =4х1 + 0х2,

CIV =0х1 + 4х2,

Оскільки запаси ресурсів обмежені, то повинні виконуватись нерівності:

2х1 + 2х2 ≤ 12

1х1 + 2х2 ≤ 8

4х1 ≤ 16

4х2≤ 12

Оскільки, кількість товарів є величина невід'ємна, то додатково повинні виконуватись ще нерівності: х1> 0, х2> 0.

Таким чином, приходимо до математичної моделі (задачі лінійного програмування):

Знайти х1 , х2 такі, що функція ∫ = 2х1+3х2 досягає максимуму при системі обмежень:

Вирішимо пряму задачу лінійного програмування симплексним методом, з використанням симплексної таблиці.

Визначимо максимальне значення цільової функції F (X) = 2x1 + 3x2 за таких умов-обмежень.

2x1 + 2x2≤12

x1 + 2x2≤8

4x1≤16

4x2≤12

Для побудови першого опорного плану систему нерівностей приведемо до системи рівнянь шляхом введення додаткових змінних (перехід до канонічної форми). Оскільки маємо змішані умови-обмеження, то введемо штучні змінні x.

2x1 + 2x2 + 1x3 + 0x4 + 0x5 + 0x6 = 12

1x1 + 2x2 + 0x3 + 1x4 + 0x5 + 0x6 = 8

4x1 + 0x2 + 0x3 + 0x4 + 1x5 + 0x6 = 16

0x1 + 4x2 + 0x3 + 0x4 + 0x5 + 1x6 = 12

Матриця коефіцієнтів A = a(ij) цієї системи рівнянь має вигляд:

Базисні перемінні це змінні, які входять тільки в одне рівняння системи обмежень і притому з одиничним коефіцієнтом.

 Вирішимо систему рівнянь відносно базисних змінних:

x3, x4, x5, x6,

 Вважаючи, що вільні змінні рівні 0, отримаємо перші опорний план:

X1 = (0,0,12,8,16,12)

План  Базис  B  x1  x2  x3  x4  x5  x6
 0  x3  12  2  2  1  0  0  0
   x4  8  1  2  0  1  0  0
   x5  16  4  0  0  0  1  0
 x6  12  0  4  0  0  0  1
Індексний рядок  F(X0)  0  -2  -3  0  0  0  0

Переходимо до основного алгоритму симплекс-методу.

План Базис B  x1  x2  x3  x4  x5  x6  min
 1  x3  12  2  2  1  0  0  0  6
   x4  8  1  2  0  1  0  0  4
 x5  16  4  0  0  0  1  0  -
 x6  12  0  4  0  0  0  1  3
Індексний рядок  F(X1)  0  -2  -3  0  0  0  0  0

Поточний опорний план неоптимальний, тому що в індексному рядку знаходяться негативні коефіцієнти.

В якості ведучого виберемо стовпець, відповідної змінної x2, тому, що це найбільший коефіцієнт по модулю.

Обчислимо значення Di по рядках як частку від ділення:

і з них виберемо найменше:

min (12 : 2 , 8 : 2 , - , 12 : 4 ) = 3

Отже, 4-ий рядок є провідним.

Дозвільний елемент дорівнює (4) і стоїть на перетині ведучого стовпця і головного рядка.

Формуємо наступну частину симплексної таблиці.

Замість змінної x в план 1 Замість змінної x2 .

Рядок, відповідної змінної x2 в планi 1, отриманий в результаті поділу всіх елементів рядка x6 плану 0 на дозвільний елемент ДE=4

На місці дозвільного елемента в плані 1 отримуємо 1.

В інших клітинах стовпця x2 плану 1 записуємо нулі.

Таким чином, у новому плані 1 заповнені рядок x2 і стовпець x2 .

Всі інші елементи нового плану 1, включаючи елементи індексного рядка, визначаються за правилом прямокутника.

Для цього вибираємо зі старого плану чотири числа, які розташовані в вершинах прямокутника і завжди включають дозвільний елемент ДE.

НE = СE - (А*В)/ДE

СДE - елемент старого плану, ДЕ - дозволяє елемент (4), А i В - елементи старого плану, що утворюють прямокутник з елементами СДЕ і ДE.

План Базис B  x1  x2  x3  x4  x5  x6  min
 2  x3  6  2  0  1  0  0  -1/2  3
   x4  2  1  0  0  1  0  -1/2  2
   x5  16  4  0  0  0  1  0  4
   x2  3  0  1  0  0  0  1/4  -
 Індексний рядок  F(X2)  9  -2  0  0  0  0  3/4  0

Поточний опорний план неоптимальний, тому що в індексному рядку знаходяться негативні коефіцієнти.

В якості ведучого виберемо стовпець, відповідної змінної x1, Так як це найбільший коефіцієнт по модулю.

Обчислимо значення Di по рядках як частка від ділення:

і з них виберемо найменше:

 min (6 : 2 , 2 : 1 , 16 : 4 , - ) = 2

 Отже, 2-ий рядок є провідним.

Дозвільний елемент дорівнює (1) і стоїть на перетині ведучого стовпця і головною рядка.

Формуємо наступну частину симплексної таблиці.

Замість змінної x в план 2 Замість змінної x1 .

Рядок, відповідної змінної x1 в планi 2, отриманий в результаті поділу всіх елементів рядка x4 плану 1 на дозвільний елемент ДE=1

На місці дозвільного елемента в плані 2 отримуємо 1.

В інших клітинах стовпця x1 плану 2 записуємо нулі.

Таким чином, у новому плані 2 заповнені рядок x1 і стовпець x1 .

Всі інші елементи нового плану 2, включаючи елементи індексного рядка, визначаються за правилом прямокутника.

Для цього вибираємо зі старого плану чотири числа, які розташовані в вершинах прямокутника і завжди включають дозвільний елемент ДE.

НE = СE - (А*В)/ДE

СДE - елемент старого плану, ДЕ - дозвільний елемент (1), А i В - елементи старого плану, що утворюють прямокутник з елементами СДЕ і ДE.

Оскільки в останньому стовпці присутні кілька мінімальних елементів 4, то номер рядка вибираємо за правилом Крек.

Метод Крек полягає в наступному. Елементи рядків, що мають однакові найменші значення min=4, діляться на передбачувані дозвільні елементи, а результати заносяться в додаткові рядки. За провідний рядок вибирається той, в якому раніше зустрінеться найменше приватне при читанні таблиці зліва направо по стовпцях.

План Базис  B  x1  x2  x3  x4  x5  x6  min
 3  x3  2  0  0  1  -2  0  1/2  4
   x1  2  1  0  0  1  0  -1/2  -
   x5  8  0  0  0  -4  1  2  4
   x2  3  0  1  0  0  0  1/4  12
 Індексний рядок  F(X3)  13  0  0  0  2  0  -1/4  0

Поточний опорний план неоптимальний, тому що в індексному рядку знаходяться негативні коефіцієнти.

В якості ведучого виберемо стовпець, відповідний змінної x6, тому що це найбільший коефіцієнт по модулю.

Обчислимо значення Di по рядках як частку від ділення:

і з них виберемо найменше:

 min (2 : 1/2 , - , 8 : 2 , 3 : 1/4 ) = 4

Отже, 1-ий рядок є провідним.

Дозвільний елемент дорівнює (1/2) і стоїть на перетині ведучого стовпця і головною рядка.

Формуємо наступну частину симплексної таблиці.

Замість змінної x в план 3 Замість змінної x6 .

Рядок, відповідної змінної x6 в плані 3, отриманий в результаті поділу всіх елементів рядка x3 плану 2 на дозвільний елемент ДE=1/2

На місці дозволяє елемента в плані 3 отримуємо 1.

В інших клітинах стовпця x6 плану 3 записуємо нулі.

Таким чином, у новому плані 3 заповнені рядок x6 і стовпець x6 .

Всі інші елементи нового плану 3, включаючи елементи індексного рядка, визначаються за правилом прямокутника.

Для цього вибираємо зі старого плану чотири числа, які розташовані в вершинах прямокутника і завжди включають дозвільний елемент ДE.

НE = СE - (А*В)/ДE

СДE - елемент старого плану, ДЕ - дозвільний елемент (1/2), А i В - елементи старого плану, що утворюють прямокутник з елементами СДЕ і ДE.

Оскільки, індексний рядок не містить негативних елементів - знайдений оптимальний план.

Остаточний варіант симплекс-таблиці:

План Базис  B  x1  x2  x3  x4  x5  x6
 4  x6  4  0  0  2  -4  0  1
   x1  4  1  0  1  -1  0  0
   x5  0  0  0  -4  4  1  0
   x2  2  0  1  -1/2  1  0  0
Індексний рядок  F(X4)  14  0  0  1/2  1  0  0

Оптимальний план можна записати так:

x6 = 4

x1 = 4

x5 = 0

x2 = 2

F(X) = 2•4 + 3•2 = 14


Завдання 2

Розв’язати задачі:

а) графічним методом;

б) методом симплексних таблиць;

в) скласти двоїсту задачу і розв’язати її.

Розв’язок

Розв’язок графічним методом.

Побудуємо область допустимих рішень, тобто вирішимо графічно систему нерівностей. Для цього побудуємо кожну пряму і визначимо півплощини, задані нерівностями (півплощини позначені штрихом).


Межі області

Цільова функція F(x) => min

Розглянемо цільову функцію завдання F = 7X1+5X2 => min.

Побудуємо пряму, що відповідає значенню функції F = 0: F = 7X1+5X2 = 0. Будемо рухати цю пряму паралельним чином. Оскільки нас цікавить мінімальне рішення, тому рухався прямо до першого торкання позначеної області. На графіку ця пряма позначена пунктирною лінією.

Рівний масштаб


Перетином півплощини буде область, яка представляє собою багатокутник, координати точок якого задовольняють умові нерівностей системи обмежень задачі.

Пряма F(x) = const перетинає область у точці A. Оскільки точка A отримана в результаті перетину прямих 4 i 3, то її координати задовольняють рівнянням цих прямих:

x2=0

3x1-5x2≥11

Вирішивши систему рівнянь, одержимо: x1 = 3.6667, x2 = 0

Звідки знайдемо мінімальне значення цільової функції:

F(X) = 7*3.6667 + 5*0 = 25.67

Розв’язок методом симплексних таблиць.

Вирішимо пряму задачу лінійного програмування симплексним методом, з використанням симплексної таблиці.

Визначимо мінімальне значення цільової функції F(X) = 7x1+5x2 за таких умов-обмежень.

2x1+4x2≥1

5x1-x2≤42

3x1-5x2≥11

Для побудови першого опорного плану систему нерівностей приведемо до системи рівнянь шляхом введення додаткових змінних (перехід до канонічної форми).

2x1 + 4x2-1x3 + 0x4 + 0x5 = 1

5x1-1x2 + 0x3 + 1x4 + 0x5 = 42

3x1-5x2 + 0x3 + 0x4-1x5 = 11

Введемо штучні змінні x.

2x1 + 4x2-1x3 + 0x4 + 0x5 + 1x6 + 0x7 = 1

5x1-1x2 + 0x3 + 1x4 + 0x5 + 0x6 + 0x7 = 42

3x1-5x2 + 0x3 + 0x4-1x5 + 0x6 + 1x7 = 11

Для постановки завдання на мінімум цільову функцію запишемо так:

F(X) = 7x1+5x2+Mx6+Mx7 => min

Отриманий базис називається штучним, а метод рішення називається методом штучного базису.

Причому штучні змінні не мають відношення до змісту поставленого завдання, однак вони дозволяють побудувати стартову точку, а процес оптимізації змушує ці змінні приймати нульові значення та забезпечити допустимість оптимального рішення.

З рівнянь висловлюємо штучні змінні:

x6 = 1-2x1-4x2+x3

x7 = 11-3x1+5x2+x5

які підставимо в цільову функцію:

F(X) = 7x1 + 5x2 + M(1-2x1-4x2+x3) + M(11-3x1+5x2+x5) => min

або

математичний модель лінійний програмування

F(X) = (7-5M)x1+(5+1M)x2+(1M)x3+(1M)x5+(12M) => min

Матриця коефіцієнтів A = a(ij) цієї системи рівнянь має вигляд:

 2  4  -1  0  0  1  0
 5  -1  0  1  0  0  0
 3  -5  0  0  -1  0  1

Базисні перемінні це змінні, які входять тільки в одне рівняння системи обмежень і притому з одиничним коефіцієнтом.

Вирішимо систему рівнянь відносно базисних змінних:

x6, x4, x7,

Вважаючи, що вільні змінні рівні 0, отримаємо перший опорний план:

X1 = (0,0,0,42,0,1,11)

План Базис В x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7
 0  x6  1  2  4  -1  0  0  1  0
   x4  42  5  -1  0  1  0  0  0
   x7  11  3  -5  0  0  -1  0  1
 Індексний рядок  F(X0)  12M  -7+5M  -5-1M  -1M  0  -1M  0  0

Переходимо до основного алгоритму симплекс-методу.

План Базис  В  x1  x2  x3  x4  x5  x6  x7  min
 1  x6  1  2  4  -1  0  0  1  0  0.5
 x4  42  5  -1  0  1  0  0  0  8.4
   x7  11  3  -5  0  0  -1  0  1  3.67
Індексний рядок  F(X1)  12M  -7+5M  -5-1M  -1M  0  -1M  0  0  0

Поточний опорний план неоптимальний, тому що в індексному рядку знаходяться позитивні коефіцієнти

В якості ведучого виберемо стовпець, відповідної змінної x1, так як це найбільший коефіцієнт .

Обчислимо значення Di по рядках як частку від ділення

і з них виберемо найменше:

Отже, 1-ий рядок є ведучим

Дозвільний елемент дорівнює 2 і знаходиться на перетині ведучого стовпця і головною рядка

Формуємо наступну частину симплексної таблиці.

Замість змінної x6 в план 1 увійде змінна x1

Рядок, відповідної змінної x1 в плані 1, отриманий в результаті поділу всіх елементів рядка x6 плану 0 на дозвільний елемент ДЕ=2

На місці дозвільного елемента в плані 1 отримуємо 1.

В інших клітинах стовпця x1 плану 1 записуємо нулі.

Таким чином, у новому плані 1 заповнені рядок x1 і стовпець x1 .

Всі інші елементи нового плану 1, включаючи елементи індексного рядка, визначаються за правилом прямокутника.

Для цього вибираємо зі старого плану чотири числа, які розташовані в вершинах прямокутника і завжди включають дозвільний елемент ДЕ.

НE = СE - (А*В)/ДE

СДЕ - елемент старого плану, ДЕ - дозвільний елемент (2), А і В - елементи старого плану, що утворюють прямокутник з елементами СДЕ і ДЕ.

План  Базис  В  x1  x2  x3  x4  x5  x6  x7  min
 2  x1  0.5  1  2  -0.5  0  0  0.5  0  0
   x4  39.5  0  -11  2.5  1  0  -2.5  0  15.8
   x7  9.5  0  -11  1.5  0  -1  -1.5  1  6.33
Індексний рядок  F(X2)  3.5+9.5M  0  9-11M  -3.5+1.5M  0  -1M  3.5-2.5M  0  0

Поточний опорний план неоптимальний, тому що в індексному рядку знаходяться позитивні коефіцієнти

В якості ведучого виберемо стовпець, відповідної змінної x3, так як це найбільший коефіцієнт .

Обчислимо значення Di по рядках як частку від ділення

і з них виберемо найменше:


Отже, 3-ий рядок є ведучим

Дозвільний елемент дорівнює 1.5 і знаходиться на перетині ведучого стовпця і головною рядка

Формуємо наступну частину симплексної таблиці.

Замість змінної x7 в план 2 увійде змінна x3

Рядок, відповідної змінної x3 в плані 2, отримана в результаті поділу всіх елементів рядка x7 плану 1 на дозвільний елемент ДЕ=1.5

На місці дозвільного елемента в плані 2 отримуємо 1.

В інших клітинах стовпця x3 плану 2 записуємо нулі.

Таким чином, у новому плані 2 заповнені рядок x3 і стовпець x3 .

Всі інші елементи нового плану 2, включаючи елементи індексного рядка, визначаються за правилом прямокутника.

Кінець ітерацій: індексний рядок не містить негативних елементів - знайдений оптимальний план

Остаточний варіант симплекс-таблиці:

План Базис В  x1  x2  x3  x4  x5  x6  x7
 3  x1  3.67  1  -1.67  0  0  -0.3333  0  0.3333
   x4  23.67  0  7.33  0  1  1.67  0  -1.67
 x3  6.33  0  -7.33  1  0  -0.6667  -1  0.6667
 Індексний рядок  F(X3)  25.67  0  -16.67  0  0  -2.33  -1M  2.33-1M

Оптимальний план можна записати так:

x1 = 3.67

x4 = 23.67

x3 = 6.33

F(X) = 7*3.67 = 25.67

Складемо двоїсту задачу до прямої задачі.

2y1+5y2+3y3≤7

4y1-y2-5y3≤5

y1+42y2+11y3 => max

y1 ≥ 0

y2 ≤ 0

y3 ≥ 0

Рішення двоїстої задачі дає оптимальну систему оцінок ресурсів.

Використовуючи останню інтерпретацію прямої задачі знайдемо, оптимальний план двоїстої задачі.

З першої теореми двоїстості випливає, що Y = C*A-1.

Складемо матрицю A з компонентів векторів, що входять в оптимальний базис.

Визначивши зворотну матрицю А-1 через алгебраїчні доповнення, отримаємо:

Як видно з останнього плану симплексної таблиці, зворотна матриця A-1 розташована в стовпцях додаткових змінних .

Тоді Y = C*A-1 =

Оптимальний план двоїстої задачі дорівнює:

y1 = 0

y2 = 0

y3 = 2.33

Z(Y) = 1*0+42*0+11*2.33 = 25.67


Завдання 3

Знайти початковий розв’язок транспортної задачі методом «північно-західного кута» і мінімальної вартості. Вибравши один із знайдених початкових розв’язків, знайти оптимальний розв’язок транспортної задачі.

3 5 1 4 200
4 1 2 3 140
1 2 3 5 160
90 110 220 80 500

Розв’язок

Побудова математичної моделі. Нехай xij — кількість продукції, що перевозиться з і-го пункту виробництва до j-го споживача . Перевіримо необхідність і достатність умов розв'язання задачі:

Умова балансу дотримується. Запаси рівні потребам. Отже, модель транспортної задачі є закритою.

Занесемо вихідні дані у таблицю.

В1 В2 В3 В4 Запаси
А1 3 5 1 4 200
А2 4 1 2 3 140
А3 1 2 3 5 160
Потреби 90 110 220 80

Розпочинаємо будувати математичну модель даної задачі:

Економічний зміст записаних обмежень полягає в тому, що весь вантаж потрібно перевезти по пунктах повністю.

Аналогічні обмеження можна записати відносно замовників: вантаж, що може надходити до споживача від чотирьох баз, має повністю задовольняти його попит. Математично це записується так:

Загальні витрати, пов’язані з транспортуванням продукції, визначаються як сума добутків обсягів перевезеної продукції на вартості транспортування од. продукції до відповідного замовника і за умовою задачі мають бути мінімальними. Тому формально це можна записати так:

minZ=3x11+5x12+1x13+4x14+4x21+1x22+2x23+3x24+1x31+2x32+3x33+4x34.

Загалом математична модель сформульованої задачі має вигляд:

minZ=3x11+5x12+1x13+4x14+4x21+1x22+2x23+3x24+1x31+2x32+3x33+4x34.

за умов:


 

Запишемо умови задачі у вигляді транспортної таблиці та складемо її перший опорний план у цій таблиці методом «північно-західного кута».

Ai Bj ui
b1 = 90 b2 = 110 b3 = 220 b4=80
а1 = 200 3 5

1

200

4 u1 =
а2 = 140

4

90

1

50

2 3 u2 =
а3 = 160 1

2

60

3

20

5

80

u3 =
vj v1 = v2 = v3 = v4 =

У результаті отриманий перший опорний план, який є допустимим, оскільки всі вантажі з баз вивезені, потреба магазинів задоволена, а план відповідає системі обмежень транспортної задачі.

Підрахуємо число зайнятих клітин таблиці, їх 6, а має бути m + n - 1 = 6. Отже, опорний план є не виродженим.

Використовуючи метод найменшої вартості, побудуємо перший опорний план транспортної задачі.

Ai Bj ui
b1 = 90 b2 = 110 b3 = 220 b4=80
а1 = 200 3 5

1

200

4 u1 = 0
а2 = 140 4

1

[-] 110

2

20

3

[+] 10

u2 = 1
а3 = 160

1

90

2

[+]

3

5

[-] 70

u3 = 3
vj v1 = -2 v2 = 0 v3 = 1 v4 = 2

У результаті отриманий перший опорний план, який є допустимим, оскільки всі вантажі з баз вивезені, потреба магазинів задоволена, а план відповідає системі обмежень транспортної задачі.

Підрахуємо число зайнятих клітин таблиці, їх 6, а має бути m + n - 1 = 6. Отже, опорний план є не виродженим.

Для розв’язку візьмемо останній опорний план.

Перевіримо оптимальність опорного плану. Знайдемо потенціали ui, vi. по зайнятих клітинам таблиці, в яких ui + vi = cij, вважаючи, що u1 = 0:

u1=0, u2=0, u3=3, v1=-2, v2=0, v3=1 v4=2. Ці значення потенціалів першого опорного плану записуємо у транспортну таблицю.

Потім згідно з алгоритмом методу потенціалів перевіряємо виконання другої умови оптимальності ui + vj ≤ cij (для порожніх клітинок таблиці).

Опорний план не є оптимальним, тому що існують оцінки вільних клітин для яких ui + vi > cij

(3;2): 3 + 0 > 2; ∆32 = 3 + 0 - 2 = 1

(3;3): 3 + 1 > 3; ∆33 = 3 + 1 - 3 = 1

max(1,1) = 1

Тому від нього необхідно перейти до другого плану, змінивши співвідношення заповнених і порожніх клітинок таблиці. Вибираємо максимальну оцінку вільної клітини (3;2): 2. Для цього в перспективну клітку (3;2) поставимо знак «+», а в інших вершинах багатокутника чергуються знаки «-», «+», «-». Цикл наведено в таблиці.

Тепер необхідно перемістити продукцію в межах побудованого циклу. З вантажів хij що стоять в мінусових клітинах, вибираємо найменше, тобто у = min (3, 4) = 70. Додаємо 70 до обсягів вантажів, що стоять в плюсових клітинах і віднімаємо 70 з хij, що стоять в мінусових клітинах. В результаті отримаємо новий опорний план.

Усі інші заповнені клітинки першої таблиці, які не входили до циклу, переписуємо у другу таблицю без змін. Кількість заповнених клітинок у новій таблиці також має відповідати умові невиродженості плану, тобто дорівнювати (n + m – 1).

Отже, другий опорний план транспортної задачі матиме такий вигляд:

Ai Bj ui
b1 = 90 b2 = 110 b3 = 220 b4=80
а1 = 200 3 5

1

200

4 u1 = 0
а2 = 140 4

1

40

2

20

3

80

u2 = 1
а3 = 160

1

90

2

70

3 5 u3 = 2
vj v1 = -1 v2 = 0 v3 = 1 v4 = 2

Перевіримо оптимальність опорного плану, тобто повторюємо описані раніше дії.

Знайдемо потенціали ui, vi. по зайнятих клітинам таблиці, в яких ui + vi = cij, вважаючи, що u1 = 0.

u1 + v3 = 1; 0 + v3 = 1; v3 = 1

u2 + v3 = 2; 1 + u2 = 2; u2 = 1

u2 + v2 = 1; 1 + v2 = 1; v2 = 0

u3 + v2 = 2; 0 + u3 = 2; u3 = 2

u3 + v1 = 1; 2 + v1 = 1; v1 = -1

u2 + v4 = 3; 1 + v4 = 3; v4 = 2

Перевірка останнього плану на оптимальність за допомогою методу потенціалів показує, що він оптимальний.

Розрахуємо значення цільової функції відповідно до другого опорного плану задачі:

F(x) = 1*200 + 1*40 + 2*20 + 3*80 + 1*90 + 2*70 = 750

За оптимальним планом перевезень загальна вартість перевезень всієї продукції є найменшою і становить 750 грн.

Другие материалы

  • Моделювання оптимального розподілу інвестицій за допомогою динамічного програмування
  • ... наступний стан системи . Для зміненого стану знайти оптимальне управління , підставити у формулу (2.11) і так далі. Для і-гo стану , знайти  і  і т.д. [1]. 3. Оптимальний розподіл інвестицій, як задача динамічного програмування Інвестор виділяє кошти в розмірі  умовних одиниць, котрі ...

  • Стандартна задача лінійного програмування
  • ... ж максимізації випуску продукції (прибутку) при заданих обмежених кількостях ресурсів.   2. Дві стандартні форми задач лінійного програмування Загальна форма задачі лінійного програмування (3.1) - (3.6) не придатна для побудови досить простих і ефективних методів розв'язування її, причиною ...

  • Математичне програмування в економіці
  • ... ія являє собою співвідношення двох лінійних функцій, а обмеження – лінійні. Якщо у задачі математичного програмування відсутні усі обмеження. така задача має назву задачі безумовного програмування. У якості прикладів економічних проблем, які доцільно розв’язувати. використовуючи методи та моделі ...

  • Моделювання оптимальної стратегії заміни обладнання за допомогою динамічного програмування
  • ... оптимальну стратегію керування U*, що включає оптимальні керування на окремих кроках: U*= (u1*, u2*,…, un*). Отже, зі знаходження рішення завдання динамічного програмування видно, що цей процес є досить громіздким. Тому більше складні завдання вирішують за допомогою ЕОМ. Динамічне завдання по зам ...

  • Двоїста задача лінійного програмування: економічна інтерпретація знаходження оптимальних планів
  • ... і підкласи. Наприклад, ігри двох осіб із нульовою сумою. Наведену класифікацію використано для структурування курсу «Математичне програмування». 2. Економічна інтерпретація прямої та двоїстої задач лінійного програмування Кожна задача лінійного програмування пов’язана з іншою, так званою ...

  • Економічні задачі лінійного програмування і методи їх вирішення
  • ... ів до дослідження різних економічних проблем. У 1949 р. американським математиком Дж. Данцигом (GB Dantzig) був опублікований симплекс-метод - основний метод рішення задач лінійного програмування. Термін «лінійне програмування» вперше з'явився в 1951 р. в роботах Дж. Данцига і Т. Купманса. При ...

  • Економіко-математичне обґрунтування підвищення ефективності виробництва МКВП "Дніпроводоканалу"
  • ... ;       форма № 2 "Звіт про фінансові результати" за 2007 – 2008 роки (додаток Г). 3 Підвищення ефективності виробництва МКВП "Дніпроводоканал" на підставі методів Економіко-математичного моделювання У грудні 2008 року Дніпропетровський ...

  • Математична модель транспортної системи підприємства
  • ... засобів з урахуванням обмеження на обсяг робот, що можуть виконати транспортні засоби. РОЗДІЛ 3 МАТЕМАТИЧНА МОДЕЛЬ ТРАНСПОРТНОЇ СИСТЕМИ ПІДПРИЄМСТВА   3.1 Структура моделі У якості структурної моделі транспортної системи підприємства можна запропонувати схему, що складається з трьох ...

  • Розв’язання задач лінійного програмування
  • ... числі змінних - взагалі неможливим. Незважаючи на це, розгляд графічного методу дасть змогу зробити висновки, що послужать основою для розробки загального методу розв’язання задач лінійного програмування[2]. Перший крок при використанні графічного методу полягає в поданні області допустимих ...

  • Підвищення ефективності роботи підприємства на основі застосування економіко-математичних методів (на прикладі ВАТ "Дніпрополімермаш")
  • ... мету і задачі даної роботи. Метою даної роботи є підвищення ефективності роботи підприємства ВАТ «Дніпрополімермаш» шляхом управління собівартістю продукції. Відповідно, для досягнення поставленої мети необхідно вирішити наступні задачі: 1.   Проаналізувати фінансово-економічний стан ...

  • Математичні методи та моделі в управлінні аграрним виробництвом
  • ... займає лінійне програмування. Це пояснюється широким колом задач, що можуть бути зведені до лінійних моделей, а також розвинутим математичним і програмним забезпеченням методу лінійного програмування. Задача лінійного програмування у стандартній формі має вигляд:   Z = C1x1 + C2x2 + … + Cnxn ...

  • Побудова та реалізація економіко–математичної моделі
  • ... задачі за допомогою ПК. 1. Побудова економіко–математичної моделі Загальна модель задачі математичного програмування має такий вигляд: У структурі моделі (1.1) можна виділити 3 елементи: 1) Набір керованих змінних x1, x2, ... x n, значення яких підлягають оптимізації. Різні допустим ...

  • Мова програмування Assembler
  • ... взаємодія пристроїв уведення-висновку з мікропроцесором. Переривання цікавлять нас тому, що обробка переривань - це прерогатива програмування на мові асемблера. У високорівневих мовах відсутні засоби роботи з перериваннями на машинному рівні. Переривання звичайно викликаються зовнішніми пристроями. ...

  • Розробка тестової системи для перевірки знань з предмету "Системне програмування"
  • ... Наприклад, вводимо назву виробу, норму витрат та кількість виробів – і перевіряємо обчислену потребу матеріалу. Програма цієї курсової роботи з дисципліни «Системне програмування та операційні системи» призначена для перевірки тестового контролю знань. Кожне запитання тесту може мати кілька варіант ...

  • Побудова математичної моделі задачі лінійного програмування
  • ... до третього – х5. Додаткові змінні вводяться зі знаками „+”, оскільки обмеження мають тип „”. Математична модель задачі у канонічній формі: за умов Завдання 2 Розв’язати задачу лінійного програмування графічним методом за умов   Розв’язання. В декартовій системі ...

Каталог учебных материалов

Свежие работы в разделе

Наша кнопка

Разместить ссылку на наш сайт можно воспользовавшись следующим кодом:

Контакты

Если у вас возникли какие либо вопросы, обращайтесь на email администратора: admin@kazreferat.info