Линии на плоскости

Заказать работу

При чтении экономической литературы приходится иметь дело с большим количеством графиков. Укажем некоторые из них.

Кривая безразличия - кривая, показывающая различные комбинации двух продуктов, имеющих одинаковое потребительское значение, или полезность, для потребителя.

Кривая потребительского бюджета - кривая, показывающая различные комбинации количеств двух товаров, которые потребитель может купить при данном уровне его денежного дохода.

Кривая производственных возможностей - кривая, показывающая различные комбинации двух товаров или услуг, которые могут быть произведены в условиях полной занятости и полного объема производства в экономике с постоянными запасами ресурсов и неизменной технологией.

Кривая инвестиционного спроса - кривая, показывающая динамику процентной ставки и объем инвестиций при разных процентных ставках.

Кривая Филлипса - кривая, показывающая существование устойчивой связи между уровнем безработицы и уровнем инфляции.

Кривая Лаффера - кривая, показывающая связь между ставками налогов и налоговыми поступлениями, выявляющая такую налоговую ставку, при которой налоговые поступления достигают максимума.

Уже простое перечисление терминов показывает, как важно для экономистов умение строить графики и разбираться в свойствах простейших кривых, каковыми являются прямые линии и кривые второго порядка - окружность, эллипс, гипербола, парабола. Кроме того, при решении большого класса задач требуется выделить на плоскости область, ограниченную какими-либо кривыми. Чаще всего эти задачи формулируются так: найти наилучший план производства при заданных ресурсах. Задание ресурсов имеет обычно вид неравенств. Поэтому приходится искать наибольшее или наименьшее значения, принимаемые некоторой функцией в области, заданной системой неравенств.

В аналитической геометрии линия на плоскости определяется как множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению F(x,y)=0. При этом на функцию F должны быть наложены ограничения так, чтобы, с одной стороны, это уравнение имело бесконечное множество решений и, с другой стороны, чтобы это множество решений не заполняло “куска плоскости”. Важный класс линий составляют те, для которых функция F(x,y) есть многочлен от двух переменных, в этом случае линия, определяемая уравнением F(x,y)=0, называется алгебраической. Алгебраические линии, задаваемые уравнением первой степени, cуть прямые. Уравнение второй степени, имеющее бесконечное множество решений, определяет эллипс, гиперболу, параболу или линию, распадающуюся на две прямые.

Пусть на плоскости задана прямоугольная декартова система координат. Прямая на плоскости может быть задана одним из уравнений:

10. Общее уравнение прямой:

Ax + By + C = 0. (2.1)

Вектор n(А,В) ортогонален прямой, числа A и B одновременно не равны нулю.

20. Уравнение прямой с угловым коэффициентом:

y - y0 = k (x - x0), (2.2)

где k - угловой коэффициент прямой, то есть k = tgα , где α - величина угла, образованного прямой с осью Оx, M (x0, y0 ) - некоторая точка, принадлежащая прямой.

Уравнение (2.2) принимает вид y = kx + b, если M (0, b) есть точка пересечения прямой с осью Оy.

30. Уравнение прямой в отрезках:

x/a + y/b = 1 (2.3)

где a и b - величины отрезков, отсекаемых прямой на осях координат.

40. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки - A(x1, y1) и B(x2, y2 ):

(2.4)

50. Уравнение прямой, проходящей через данную точку A(x1, y1) параллельно данному вектору a(m, n):

(2.5)

60. Нормальное уравнение прямой:

rn0 - р = 0, (2.6)

где r - радиус-вектор произвольной точки M(x, y) этой прямой, n0 - единичный вектор, ортогональный этой прямой и направленный от начала координат к прямой; р - расстояние от начала координат до прямой.

Нормальное уравнение прямой в координатной форме имеет вид:

x cosα + y sinα - р = 0,

где α - величина угла, образованного прямой с осью Оx.

Уравнение пучка прямых с центром в точке А(x1, y1) имеет вид:

y-y1 = λ(x-x1),

где λ - параметр пучка.

Если пучок задается двумя пересекающимися прямыми A1x + B1y + C1= 0,
A2x + B2y + C2 = 0, то его уравнение имеет вид:

λ(A1x + B1y + C1) + μ(A2x + B12y + C2 )=0,

где λ и μ - параметры пучка, не обращающиеся в 0 одновременно.

Величина угла между прямыми y = kx + b и y = k1x + b1 задается формулой:

tgφ = .

Равенство 1 + k1k = 0 есть необходимое и достаточное условие перпендикулярности прямых.

Для того, чтобы два уравнения

A1x + B1y + C1= 0, (2.7)

A2x + B2y + C2 = 0, (2.8)

задавали одну и ту же прямую, необходимо и достаточно, чтобы их коэффициенты были пропорциональны:

A1/A2 = B1/B2 = C1/C2.

Уравнения (2.7), (2.8) задают две различные параллельные прямые, если A1/A2 = B1/B2 и B1/B2 ≠ C1/C2; прямые пересекаются, если A1/A2 ≠ B1/B2 .

Расстояние d от точки M0(x0, y0) до прямой есть длина перпендикуляра, проведенного из точки Mо к прямой. Если прямая задана нормальным уравнением, то d = |r0 n0 - р| , где r0 - радиус-вектор точки M0 или, в координатной форме, d = |x0cosα + y0sinα - р|.

Общее уравнение кривой второго порядка имеет вид:

a11x2 + 2a12xy + a22y2 + 2a1x +2a2y +a = 0.

Предполагается, что среди коэффициентов a11, a12, a22 есть отличные от нуля.

Уравнение окружности с центром в точке С(a, b) и радиусом, равным R:

(x - a)2 + (y - b)2 = R2. (2.9)

Эллипсом называется геометрическое место точек, сумма расстояний которых от двух данных точек F1 и F2 (фокусов) есть величина постоянная, равная 2a.

Каноническое (простейшее) уравнение эллипса:

x2/a2 + y2/a2 = 1. (2.10)

Эллипс, заданный уравнением (2.10), симметричен относительно осей координат. Параметры a и b называются полуосями эллипса.

Пусть a > b, тогда фокусы F1 и F2 находятся на оси Оx на расстоянии c =
от начала координат. Отношение c/a = ε < 1 называется эксцентриситетом эллипса. Расстояния от точки M(x, y) эллипса до его фокусов (фокальные радиусы-векторы) определяются формулами:

r1 = a - εx, r2 = a +εx.

Если же a < b, то фокусы находятся на оси Оy, c = , ε = c/b,

r1 = b + εx, r2 = b - εx.

Если a = b, то эллипс является окружностью с центром в начале координат радиуса a.

Гиперболой называется геометрическое место точек, разность расстояний которых от двух данных точек F1 и F2 (фокусов) равна по абсолютной величине данному числу 2a.

Каноническое уравнение гиперболы:

x2/a2 - y2/b2 = 1. (2.11)

Гипербола, заданная уравнением (2.11), симметрична относительно осей координат. Она пересекает ось Оx в точках A (a, 0) и A (-a, 0) - вершинах гиперболы и не пересекает ось Оy. Параметр a называется вещественной полуосью, b - мнимой полуосью. Параметр c = есть расстояние от фокуса до начала координат. Отношение c/a = ε > 1 называется эксцентриситетом гиперболы. Прямые y = ± bx/a называются асимптотами гиперболы. Расстояния от точки M(x,y) гиперболы до ее фокусов (фокальные радиусы-векторы) определяются формулами:

r1 = |εx - a| , r2 = |εx + a| .

Гипербола, у которой a = b, называется равносторонней, ее уравнение x2 - y2 = a2, а уравнение асимптот y = x. Гиперболы x2/a2 - y2/b2 = 1 и

y2/b2 - x2/a2 = 1 называются сопряженными.

Параболой называется геометрическое место точек, одинаково удаленных от данной точки (фокуса) и данной прямой (директрисы).

Каноническое уравнение параболы имеет два вида:

1) y2 = 2рx - парабола симметрична относительно оси Оx.

2) x2 = 2рy - парабола симметрична относительно оси Оy.

В обоих случаях р > 0 и вершина параболы, то есть точка, лежащая на оси симметрии, находится в начале координат.

Парабола y2 = 2рx имеет фокус F( р/2,0) и директрису x = - р/2, фокальный радиус-вектор точки M(x,y) на ней r = x+ р/2.

Парабола x2 =2рy имеет фокус F(0, р/2) и директрису y = - р/2; фокальный радиус-вектор точки M(x,y) параболы равен r = y + р/2.

Уравнение F(x, y) = 0 задает линию, разбивающую плоскость на две или несколько частей. В одних из этих частей выполняется неравенство F(x, y)<0, а в других - неравенство F(x, y)>0. Иными словами, линия F(x, y)=0 отделяет часть плоскости, где F(x, y)>0, от части плоскости, где F(x, y)<0.

Прямая Ax+By+C = 0 разбивает плоскость на две полуплоскости. На практике для выяснения того, в какой полуплоскости мы имеем Ax+By+C<0, а в какой Ax+By+C>0, применяют метод контрольных точек. Для этого берут контрольную точку (разумеется, не лежащую на прямой Ax+By+C = 0) и проверяют, какой знак имеет в этой точке выражение Ax+By+C. Тот же знак имеет указанное выражение и во всей полуплоскости, где лежит контрольная точка. Во второй полуплоскости Ax+By+C имеет противоположный знак.

Точно так же решаются и нелинейные неравенства с двумя неизвестными.

Например, решим неравенство x2-4x+y2+6y-12 > 0. Его можно переписать в виде
(x-2)2 + (y+3)2 - 25 > 0.

Уравнение (x-2)2 + (y+3)2 - 25 = 0 задает окружность с центром в точке C(2,-3) и радиусом 5. Окружность разбивает плоскость на две части - внутреннюю и внешнюю. Чтобы узнать, в какой из них имеет место данное неравенство, возьмем контрольную точку во внутренней области, например, центр C(2,-3) нашей окружности. Подставляя координаты точки C в левую часть неравенства, получаем отрицательное число -25. Значит, и во всех точках, лежащих внутри окружности, выполняется неравенство
x2-4x+y2+6y-12 < 0. Отсюда следует, что данное неравенство имеет место во внешней для окружности области.

Плоскость и прямая в пространстве

Всякое уравнение первой степени относительно координат x, y, z

Ax + By + Cz +D = 0 (3.1)

задает плоскость, и наоборот: всякая плоскость может быть представлена уравнением (3.1), которое называется уравнением плоскости.

Вектор n (A, B, C ), ортогональный плоскости, называется нормальным вектором плоскости. В уравнении (3.1) коэффициенты A, B, C одновременно не равны 0.

Особые случаи уравнения (3.1):

1. D = 0, Ax+By+Cz = 0 - плоскость проходит через начало координат.

2. C = 0, Ax+By+D = 0 - плоскость параллельна оси Oz.

3. C = D = 0, Ax +By = 0 - плоскость проходит через ось Oz.

4. B = C = 0, Ax + D = 0 - плоскость параллельна плоскости Oyz.

Уравнения координатных плоскостей: x = 0, y = 0, z = 0.

Прямая в пространстве может быть задана:

1) как линия пересечения двух плоскостей,т.е. системой уравнений:

A1x + B1y + C1z + D1 = 0, A2x + B2y + C2z + D2 = 0; (3.2)

2) двумя своими точками M1(x1, y1, z1) и M2(x2, y2, z2), тогда прямая, через них проходящая, задается уравнениями:

= (3.3)

3) точкой M1(x1, y1, z1), ей принадлежащей, и вектором a (m, n, р), ей коллинеарным. Тогда прямая определяется уравнениями:

(3.4)

Уравнения (3.4) называются каноническими уравнениями прямой.

Вектор a называется направляющим вектором прямой.

Параметрические уравнения прямой получим, приравняв каждое из отношений (3.4) параметру t:

x = x1 +mt, y = y1 + nt, z = z1 + рt. (3.5)

Решая систему (3.2) как систему линейных уравнений относительно неизвестных x и y, приходим к уравнениям прямой в проекциях или к приведенным уравнениям прямой:

x = mz + a, y = nz + b. (3.6)

От уравнений (3.6) можно перейти к каноническим уравнениям, находя z из каждого уравнения и приравнивая полученные значения:

От общих уравнений (3.2) можно переходить к каноническим и другим способом, если найти какую-либо точку этой прямой и ее направляющий вектор n = [n1, n2], где n1(A1, B1, C1) и n2(A2, B2, C2) - нормальные векторы заданных плоскостей. Если один из знаменателей m, n или р в уравнениях (3.4) окажется равным нулю, то числитель соответствующей дроби надо положить равным нулю, т.е. система

равносильна системе x = x1, ; такая прямая перпендикулярна к оси Ох.

Система равносильна системе x = x1, y = y1 ; прямая параллельна оси Oz.

Список литературы

Для подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://www.mathematica.ru

Другие материалы

  • Дифференциальная геометрия торсов в пространстве 1R4 с псевдоевклидовой касательной плоскостью
  • ... L1 – точка пересечения плоскости  и проходящей через точку L, с нормальной плоскостью . Определим координаты точки L1: x1=0, x2=0,  x3=0, x4=0; Þ x3=C, x4=0. Значит, , т.е. нормальная кривизна кривой  на торсе пространства Минковского, с псевдоевклидовой касательной плоскостью, является дейс

  • Кривые линии и поверхности
  • ... , движущейся в пространстве по определённому закону. Эту линию называют образующей. Она может быть прямой, тогда образованную ей поверхность относят к классу линейчатых. Если образующая – кривая линия, поверхность считают нелинейчатой. Линию, по которой перемещают образующую, называют направляющей. ...

  • Кривые линии и поверхности, их применение в радиоэлектронике и автоматике
  • ... , движущейся в пространстве по определенному закону. Эту линию называют образующей. Она может быть прямой, и тогда образованную ею поверхность относят к классу линейчатых. Если образующая - кривая линия, поверхность считают нелинейчатой. Линию, по которой перемещают образующую, называют направляющей ...

  • Проектирование роботехнических средств для поточных линий прядильного производства
  • ... условий проектирования, а именно исключения вышеперечисленных вариантов: Для всего PC машины поточной линии прядильного производства оценка полных решений может быть проведена по следующей формуле: , где  – количество исполнительных механизмов в проектируемом робототехническом средстве (= ...

  • Расчет электрического поля, создаваемого высоковольтными линиями электропередачи ОАО "Костромаэнерго"
  • ... методика расчета электрического поля, создаваемого линией произвольной конструкции. 3)  Получены аналитические выражения для времени, когда вектор напряженности электрического поля достигает максимальной и минимальной величины. 4)  Рассчитано электрическое поле линий электропередачи для ...

  • Конструирование радиорелейной линии
  • ... Оренбург – Соль-Илецк. Красные метки соответствуют промежуточным станциям, которые предназначены для приема сигналов от предыдущей станции радиорелейной линии, усиления этих сигналов и излучения в направлении последующей станции РРЛ. Синие метки соответствуют оконечным станциям. На данных станциях ...

  • Геометрические построения на плоскости
  • ... уравнения, то они удовлетворят последним. Путь, которым Мальфатти нашел решения, чрезвычайно сложен, как он сам указывает. Геометрическое же построение величин х, у, z представляется чрезвычайно простым, ибо вследствие чего отрезки эти, равно как и отрезки s, t, r, u, r, легко могут быть ...

  • Преследование на плоскости
  • ... , если бы его скорость была хотя бы немного больше он бы убежал. Найти отношение скорости лис и скорости кролика.   4. Преследование на плоскости с одним преследователем В данной игре существует оптимальная стратегия и для преследователя и для убегающего игрока. Оптимальной стратегией для ...

  • Основы композиции на плоскости. Основные принципы построения композиции
  • ... компоновать изображение. Очень выразительна овальная “рама”, но она требует тщательно продуманной компоновки. 9. Основные принципы построения композиции 1. Существуют два типа композиции - замкнутая и открытая. Для передачи идеи неподвижности, устойчивости больше всего подходит замкнутая ( ...

  • Модернизация технологической линии производства вареных колбас на ОАО "Борисоглебский мясокомбинат"
  • ... сократятся расход энергии, ручной труд, повысится качество продукции. Предложенную модернизацию оборудования в линии производства вареных колбас можно провести силами ремонтной мастерской. Ремонтная мастерская обладает всем необходимым набором оборудования для проведения ремонта и изготовления ...

  • Комплексная механизация СТФ с разработкой линии вентиляции и отопления
  • ... производства предъявляет качественно новые требования к вопросам технологии содержания животных и птицы, машинам и оборудованию для комплексной механизации и автоматизации производственных про­цессов, объемно-планировочным и конструктивным решениям зда­ний и сооружений, на основе которых должны ...

  • Реконструкция волоконно-оптической линии связи
  • ... Это позволило в настоящее время строить регенерационные участки длиной до 200 км и более, снижая тем самым затраты на строительство волоконно-оптических линий связи. Однако ввиду естественных ограничений производить волокна таких длин не представляется возможным. Поэтому осуществляют соединение ...

  • Расчет спутниковой линии связи Алматы -Лондон
  • ... , разделенных по частоте, времени или форме и оказывающих взаимное влияние, которое должно учитываться при расчете энергетики спутниковых линий.  В настоящей главе приводится расчет спутниковой линии ЗС1 (Алматы) – ИСЗ (Іntelsat-804) - ЗС2 (Лондон) по участкам (3). Исходные данные для ...

Каталог учебных материалов

Свежие работы в разделе

Наша кнопка

Разместить ссылку на наш сайт можно воспользовавшись следующим кодом:

Контакты

Если у вас возникли какие либо вопросы, обращайтесь на email администратора: admin@kazreferat.info