Гармонические колебания и их характеристики

Заказать работу

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ИНЖЕНЕНРНОЙ ЭКОЛОГИИ


Реферат по физике на тему:


«Гармонические колебания и их характеристики»


Выполнил:

студент группы К-11

Тарасов Алексей


Преподаватель:

доцент Маштакова В. А.


Москва 1998 г.



Гармонические колебания и их характеристики.


Колебаниями называются движения или процессы, которые характеризуются определенной повторяемостью во времени. Колебательные процесс широко распространены в природе и технике, например качания маятника часов, переменный электрический ток и т.д. При колебательном движении маятника изменяется координата его центра масс, в случае переменного тока колеблются напряжение и ток в цепи. Физическая природа колебаний может быть разной поэтому различают колебания механические, электромагнитные и другие. Однако различные колебательные процессы описываются одинаковыми характеристиками и одинаковыми уравнениями. Отсюда следует целесообразность единого подхода к изучению колебаний различной физической природы. Например ,единый подход к изучению механических и электромагнитных колебаний применялся английским физиком Д. У. Релеем (1842-1919), а А.Г. Столетовым, русским инженером-экспериментатором П.Н. Лебедевым (1866-1912). Большой вклад в развитие теории колебаний внесли: Л.И. Мандельштам (1879-1944) и его ученики.


Колебания называются свободными (или собственными), если они совершаются за счет первоначально совершенной энергии при последующем отсутствии внешних воздействий на колебательную систему (систему, совершающую колебания). Простейшим типом колебаний являются гармонические колебания - колебания, при которых колеблющаяся величина изменятся со временем по закону синуса (косинуса). Рассмотрение гармонических колебаний важно по двум причинам :

Колебания встречающиеся в природе и технике, часто имеют характер, близкий к гармоническому;


Различные периодические процессы (процессы, повторяющиеся через равные промежутки времени) можно представить как наложение гармонических колебаний.


Гармонические колебания величины s описываются уравнением типа


s =A cos (w0 t +j) , (1)

где

А - максимальное значение колеблющейся величины, называемое амплитудой колебания,

w0 - круговая (циклическая) частота,

j - начальная фаза колебания в момент времени t=0,

(w0 t +j) - фаза колебания в момент времени t.


Фаза колебания определяет значения колеблющейся величины в данный момент времени. Так как косинус изменяется в пределах от 1 до -1, то s может принимать значения от +А до -А.


Определенные состояния системы, совершающей гармонические колебания, повторяются через промежуток времени Т, называемый периодом колебания, за который фаза колебания получает приращение равное 2p, т.е.


w0(t+T)+ j=(w0t+ j)+2p ,


откуда


T=2p/w0 (2)


Величина, обратная периоду колебаний,


n=1/T (3)


т. е. число полных колебаний, совершаемых в единицу времени, называется частотой колебаний. Сравнивая (2) и (3), получим


w0=2p n.


Единица частоты - герц (Гц): 1 Гц - частота периодического процесса, при которой за 1 секунду совершается 1 цикл процесса.


Запишем первую и вторую производные по времени от гармонически колеблющейся величины s:


(4)


(5)

т. е. имеем гармонические колебания с той же циклической частотой. Амплитуды величин (5) и (4) соответственно равны и .Фаза величины (4) отличается от фазы величины (1) на p/2, а фаза величины (5) отличается от фазы величины (1) на p. Следовательно, в моменты времени, когда s=0, приобретает наибольшие значения; когда же s достигает максимального отрицательного значения, то приобретает наибольшее положительное значение (см. рисунок 1).

Из выражения (5) следует дифференциальное уравнение гармонических колебаний

(6)


где s =A cos (w0 t +j). Решением этого уравнения является выражение (1).


Гармонические колебания изображаются графически методом вращающегося вектора амплитуды, или методом векторных диаграмм.

Для этого из произвольной точки О, выбранной на оси x под углом j, равным начальной фазе колебания, откладывается вектор А, модуль которого равен амплитуде А рассматриваемого колебания (см. рисунок 2).

Если этот вектор привести во вращение с угловой скоростью w0, равной циклической частоте колебаний, то проекция конца вектора будет перемещаться по оси x и принимать значения от -А до +А , а колеблющаяся величина будет изменяться со временем по закону s =A cos (w0 t +j). Таким образом, гармоническое колебание можно представить проекцией на некоторую произвольно выбранную ось вектора амплитуды А, отложенного из произвольной точки оси под углом j, равным начальной фазе, и вращающегося с угловой скоростью w0 вокруг этой точки.


В физике часто применяется другой метод, который отличается от метода вращающегося вектора амплитуды лишь по форме. В этом методе колеблющуюся величину представляют комплексным числом. Согласно формуле Эйлера, для комплексных чисел


(7)

где - мнимая единица. Поэтому уравнение гармонического колебания (1) можно записать в комплексной форме:


(8)


вещественная часть выражения (8)



представляет собой гармоническое колебание. Обозначение Re вещественной части опускают и записывают в виде


.


В теории колебаний принимается, что колеблющаяся величина s равна вещественной части комплексного выражения, стоящего в этом равенстве справа.


Задачи.


1.Амплитуда гармонических колебаний материальной точки равна 5 см. Масса материальной точки 10 г и полная энергия колебаний дж. Написать уравнение гармонических колебаний этой точки (с числовыми коэффициентами), если начальная фаза колебаний равна .


Решение


Общее уравнение гармонических колебаний имеет вид


(1)

У нас А=5 см, . Период Т колебаний неизвестен, но его можно найти из условия . Отсюда


(2)


У нас м, m= кг и . Подставляя эти данные в (2), получим Т=4 сек. Тогда , и уравнение (1) примет вид см. Отметим, что так как - величина безразмерная, то А не обязательно подставлять в метрах ; наименование x будет соответствовать наименованию А.

Другие материалы

  • Механические колебания
  • ... ) продольной волны, её уравнение и графику аналогичны поперечной. Рис. 7. График плоской волны 1.5 Энергетические характеристики волны механическое колебание гармонический спектр При волновом движении происходит перенос энергии, которая состоит из кинетической и потенциальной энергий ...

  • Колебания и волны
  • ... убывает обратно пропорционально квадрату расстояния от источника. 1 4 1 2 Применение.Областью применения колебаний и волн служат многие изобретения человека: от музыкальных инструментов и акустических динамиков до эхолотов и ультразвуковых диагностических ...

  • О структуре поля упругих колебаний при сейсмоизмерениях
  • ... сейсмосигнала около собственной частоты этого слоя, можно выявить зону его нарушения. Описанную здесь модель распространения поля упругих колебаний при сейсморазведочных работах подтвердили, сами того не желая, ученые Института геофизики СО РАН. Их эксперимент заключается в следующем. Мощный, 100 ...

  • Изучение свободных колебаний и измерение ускорения свободного падения
  • ... l2, либо при  l2 = Jc/ml1 (23) В последнем случае период колебаний маятника (24) Следовательно, ускорение свободного падения может быть определино по формуле ...

  • Исследование спектров немодулированных и модулированных колебаний и сигналов
  • ... ). Ширина амплитудного спектра этого АМ - колебания равна (2W) удвоенной частоте модулирующего сигнала. Если модуляция осуществляется сплошным периодическим сигналом, в спектре которого содержатся много гармоник, то каждая из них даст две боковые составляющие в спектре модулированного сигнала. В ...

  • Колебания кристаллической решетки
  • ... переходу с одного энергетического уровня на другой равна  и называется фононом. Таким образом между светом и тепловыми колебаниями кристаллической решетки можно провести аналогию – упругие волны рассматриваются как распространение неких квазиупругих частиц – фононов. Р. Паерлс в 1929 году ...

  • Генераторы гармонических колебаний
  • ... всегда используется положительная обратная связь. Различают аналоговые и цифровые генераторы. Для аналоговых генераторов гармонических колебаний важной проблемой является автоматическая стабилизация амплитуды выходного напряжения. Если в схеме не предусмотрены устройства автоматической стабилизации ...

  • Аппроксимация характеристик нелинейных элементов и анализ цепей при гармонических воздействиях
  • ... к малому сигналу НЭ является линейным, но с переменным параметром (в данном случае крутизной ВАХ). Такой режим работы НЭ называется параметрическим. 1. Аппроксимация характеристик нелинейных элементов При анализе нелинейных цепей (НЦ) обычно не рассматривают процессы, происходящие внутри ...

  • Механические колебания в дифференциальных уравнениях
  • ... или, обозначив с/m через k2, (1) Полученное уравнение определяет так называемые свободные колебания груза. Оно называется уравнением гармонического осциллятора. Это линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Его характеристическое ...

  • Гармоническая линеаризация
  • ... свойствами, т.е. пропускает только первую гармонику, все остальные будут сильно подавлены. Таким образом, на выходе линейной части получен тот же гармонический сигнал, что и на входе нелинейного элемента. Будем считать, что линейная часть является идеальным фильтром, при этом всю систему, в ...

  • Частотные характеристики линейных систем управления
  • ... заданному входному. Хотя это достаточно важный для теории автоматического управления вопрос, основной целью настоящего раздела является введение центрального для классической теории понятия частотной характеристики и, далее, передаточной функции. Затем, с использованием этих понятий можно обсудить ...

Каталог учебных материалов

Свежие работы в разделе

Наша кнопка

Разместить ссылку на наш сайт можно воспользовавшись следующим кодом:

Контакты

Если у вас возникли какие либо вопросы, обращайтесь на email администратора: admin@kazreferat.info