Поиск по сайту


Каталог учебных материалов

Свежие работы в разделе

Наша кнопка

Разместить ссылку на наш сайт можно воспользовавшись следующим кодом:


Контакты

Если у вас возникли какие либо вопросы, обращайтесь на email администратора: admin@kazreferat.info

Экспоненциальный рост

Узнать стоимость написания работы

Если прирост численности популяции пропорционален количеству особей, численность популяции будет расти экспоненциально.

Выражение «экспоненциальный рост» вошло в наш лексикон для обозначения быстрого, как правило безудержного увеличения. Оно часто используется, например, при описании стремительного роста числа городов или увеличения численности населения. Однако в математике этот термин имеет точный смысл и обозначает определенный вид роста.

Экспоненциальный рост имеет место в тех популяциях, в которых прирост численности (число рождений минус число смертей) пропорционален числу особей популяции. Для популяции человека, например, коэффициент рождаемости примерно пропорционален количеству репродуктивных пар, а коэффициент смертности примерно пропорционален количеству людей в популяции (обозначим его N). Тогда, в разумном приближении,

прирост населения = число рождений — число смертей

= rN

(Здесь r — так называемый коэффициент пропорциональности, который позволяет нам записать выражение пропорциональности в виде уравнения.)

Пусть dN — число особей, добавившихся к популяции за время dt, тогда если в популяции в общей сложности N особей, то условия для экспоненциального роста будут удовлетворены, если

dN = rN dt

После того как в XVII веке Исаак Ньютон изобрел дифференциальное исчисление, мы знаем, как решать это уравнение для N — численности популяции в любое заданное время. (Для справки: такое уравнение называется дифференциальным.) Вот его решение:

N = N0 ert

где N0 — число особей в популяции на начало отсчета, а t — время, прошедшее с этого момента. Символ е обозначает такое специальное число, оно называется основание натурального логарифма (и приблизительно равно 2,7), и вся правая часть уравнения называется экспоненциальная функция.

Чтобы лучше понять, что такое экспоненциальный рост, представьте себе популяцию, состоящую изначально из одной бактерии. Через определенное время (через несколько часов или минут) бактерия делится надвое, тем самым удваивая размер популяции. Через следующий промежуток времени каждая из этих двух бактерий снова разделится надвое, и размер популяции вновь удвоится — теперь будет уже четыре бактерии. После десяти таких удвоений будет уже более тысячи бактерий, после двадцати — более миллиона, и так далее. Если с каждым делением популяция будет удваиваться, ее рост будет продолжаться до бесконечности.

Существует легенда (скорее всего, не соответствующая действительности), будто бы человек, который изобрел шахматы, доставил этим такое удовольствие своему султану, что тот пообещал исполнить любую его просьбу. Человек попросил, чтобы султан положил на первую клетку шахматной доски одно зерно пшеницы, на вторую — два, на третью — четыре и так далее. Султан, посчитав это требование ничтожным по сравнению с оказанной им услугой, попросил своего поданного придумать другую просьбу, но тот отказался. Естественно, к 64-му удвоению число зерен стало таким, что во всем мире не нашлось бы нужного количества пшеницы, чтобы удовлетворить эту просьбу. В той версии легенды, которая известна мне, султан в этот момент приказал отрубить голову изобретателю. Мораль, как я говорю моим студентам, такова: иногда не следует быть чересчур умным!

Пример с шахматной доской (как и с воображаемыми бактериями) показывает нам, что никакая популяция не может расти вечно. Рано или поздно она попросту исчерпает ресурсы — пространство, энергию, воду, что угодно. Поэтому популяции могут расти по экспоненциальному закону лишь некоторое время, и рано или поздно их рост должен замедлиться. Для этого нужно изменить уравнение так, чтобы при приближении численности популяции к максимально возможной (которая может поддерживаться внешней средой) скорость роста замедлялась. Назовем эту максимальную численность популяции K. Тогда видоизмененное уравнение будет выглядеть так:

dN = rN(1 — (N/K)) dt

Когда N намного меньше K, членом N/K можно пренебречь, и мы возвращаемся к первоначальному уравнению обычного экспоненциального роста. Однако когда N приближается к своему максимальному значению K, значение 1 — (N/K) стремится к нулю, соответственно стремится к нулю и прирост численности популяции. Общая численность популяции в этом случае стабилизируется и остается на уровне K. Кривая, описываемая этим уравнением, а также само уравнение, имеют несколько названий — S-кривая, логистическое уравнение, уравнение Вольтерра, уравнение Лотка—Вольтерра. (Вито Вольтерра (1860–1940) — выдающийся итальянский математик и преподаватель; Альфред Лотка (1880–1949) — американский математик и страховой аналитик.) Как бы она ни называлась, это — достаточно простое выражение численности популяции, резко возрастающей экспоненциально, а затем замедляющейся при приближении к некоему пределу. И она гораздо лучше отражает рост численности реальных популяций, чем обычная экспоненциальная функция.

Список литературы

Для подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://elementy.ru/

Другие материалы

  • Исследование роста микромицетов на различных субстратах
  • ... . Стекла микроскопировали, учитывая прорастание спор (%), длину проростков (в мкм) (Кураков, 2001). ГЛАВА 3. ИССЛЕДОВАНИЕ РОСТА МИКРОМИЦЕТОВ НА РАЗЛИЧНЫХ СУБСТРАТАХ   Объектами исследования явились 10 штаммов коллекционных микроскоскопических грибов родов Aspergillus: A. niger, A. ustus ...

  • Прогнозные оценки роста мирового населения
  • ... При сравнении проектов роста мирового населения отмечается одна очень важная особенность. Сценарии, в которых получен высокий рост населения, показывают только умеренный его возраст, а сценарии с более устойчивым размером населения показывают увеличение его возраста. Региональный прогнозный анализ ...

  • Проблема роста населения и нехватки ресурсов
  • ... благосостояния от истощения запасов нефти и природного газа оцениваются специалистами в 15-20%*. Экономическое регулирование природопользования В связи с проблемами роста населения и ограниченности ресурсов важное место в обеспечении охраны окружающей среды и управлении использованием природных ...

  • Размножение, рост и индивидуальное развитие организмов
  • ... липидов, минеральных солей, витаминов, микроэлементов). Важны также кислород, температура, свет (синтез витамина Д). Рост и индивидуальное развитие животных организмов подвержены нейрогуморальной регуляции со стороны гуморальных и нервных механизмов регуляции. У растений обнаружены гормоноподобные ...

  • Рост народонаселения, научно-технический прогресс и природа в современную эпоху
  • ... экологического кризиса и угрозе экологической катастрофы.   Научно-технический прогресс и природа в современную эпоху. Современные процессы, связанные с увеличением интенсивности воздействия человека на природную среду, рост многообразия форм её преобразования не только ставят на повестку ...

  • Зміни протеїназно-інгібіторного балансу при рості злоякісних пухлин з індукованою резистентністю до цисплатину
  • ... СНГ, 2006. – Баку: НЦО Минздрава Азербайджанской Республики, 2006. – С. 50. АНОТАЦІЯ Ковтонюк О.В. Зміни протеїназно-інгібіторного балансу при рості злоякісних пухлин з індукованою резистентністю до цисплатину. – Рукопис. Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата біологічних наук ...

  • Неоклассические теории экономического роста
  • ... из факторов производства занимает свою долю в общем увеличении выпуска. Свою концепцию Дж. Мид изложил в книге "Неоклассическая теория экономического роста" (1961 г.). Используя модернизированный вариант функции Коба — Дугласа, Дж. Мид вывел уравнение возможности устойчивого динамического ...

  • О болезнях роста…
  • ... бы, все работает, все отлажено, можно не спеша совершенствовать отдельные процессы. Чего же боле? Увы, у каждого этапа развития свои болезни. Неминуемо начинается «кризис автономии», кризис различного понимания необходимой и достаточной свободы разных уровней управления. - Собственники недовольны ...

  • Статистический анализ и прогнозирование
  • ... моделирование охватывает весь цикл решения экономической задачи – от ее постановки до содержательной интерпретации результатов статистического анализа и прогнозирования. Классификация переменных в эконометрических моделях. 1. Эндогенные переменные, т.е экономические величины, которые являются ...

  • Оптимизация работы предприятия ООО "Техсервис" по критерию прибыли за счет инноваций технологии и экономии ресурсов
  • ... "Техсервис" производит много разнообразной продукции: коптильно-варочные установки, телеги, микропроцессорные системы и т.д. В данном дипломном проекте поставлена задача оптимизировать сборку телеги, а также выявить экономический эффект за счет инноваций технологии и экономии ресурсов. ...

  • Надёжность функционирования автоматизированных систем
  • ... необходимы длительные эксперименты или сложные расчёты при определённых исходных данных. Оценка достоверности результатов и надёжности функционирования комплекса программ представляет собой сложную задачу из-за “проклятия размерности”. Естественным становится статистический подход к анализу ...

  • Статистический анализ и прогнозирование безработицы
  • ... как безработные. Прежде всего, дается информация об абсолютной численности безработных в стране и по регионам. Глава 3. Экономико–статистический анализ и прогнозирование безработицы   3.1. Экономический анализ безработицы Привычным явлением для некоторых категорий населения стала ...

  • Статистический анализ и прогнозирование доходов бюджета
  • ... где n – длина исходного ряда динамики. 3 глава. Статистический анализ и прогнозирование доходов бюджета Республики Бурятия   3.1 Статистический анализ доходов бюджета региона Для статистического анализа динамики доходов бюджета Республики Бурятия необходимо произвести расчет ...

Rambler's Top100 Рейтинг@Mail.ru
Рефераты и материалы размещенные на сайте принадлежат их законным правообладателям. При использовании материалов сайта, ссылка на KazReferatInfo обязательна!
Казахстанские рефераты
Copyright © 2007-2016г. KazReferatInfo