Антье и ее окружение

Заказать работу

Андреев А.А., Савин А.Н.

Антье и ее свойства

Целой частью действительного числа x называется наибольшее целое число, не превосходящее x. Обозначается целая часть x символом "[x]". Далее целую часть x будем также называть "антье" (от франц. entire-целый). Например: [3,5]=3, [-3,5]=-4, [3]=3, [-5]=-5.

Наряду с целой частью числа существует понятие дробной части числа, которая обозначается "{x}" и определяется следующим образом: {x} = x-[x]. Так {3,5}=0.5, {-3,5}=-0.5, {5}=0, {-5}=0. Очевидно, что для любого действительного числа x выполняется двойное неравенство:0 Ј {x} < 1.

Антье обладает различными свойствами. Перечислим некоторые из них.

1. Если x і 0, то [x] і 0. Если x < 0, то [x] < 0.

2. Если p- целое число, то [x+p] = [x]+p.

Так как дробная часть числа x равна дробной части числа x+p, то из равенства {x+p} = {x} следует x+p-[x+p] = x-[x], откуда получаем [x+p] = [x]+p.

3. Для любых двух действительных чисел a и b справедливо [a+b] і [a]+[b].

Действительно, a = [a]+{a}, b = [b]+{b}. Следовательно, a+b = [a]+[b]+{a}+ {b}. Так как[a] и [b]- целые числа, то по свойству 2

[a+b] = [[a]+ [b]+{a}+{b}] = [a]+[b]+[{a}+ {b}] і [a]+ [b],

потому что {a},{b} і 0 и по свойству 1 [{a}+ {b}] і 0.

Свойство 3 распространяется также на любое конечное число действительных чисел:

[a+b+...+w] і [a]+[b]+...+ [w].

4. Если [x] = [y], то |x-y| < 1.

Так как x = [x]+{x}, y = [y]+{y}, то |x-y| = |[x]+{x}-[y]-{y}| = |{x}-{y}| <1. Последнее неравенство следует из того, что дробная часть числа больше или равна нулю и меньше единицы. Следовательно, разность дробных частей двух чисел больше -1 и меньше 1, а модуль этой разности меньше 1. Отсюда |x-y| < 1.

5. Если n- натуральное число, то для любого действительного x выполняется

é

ê

ë

[x]

n

ù

ú

û

=

é

ê

ë

x

n

ù

ú

û

.

Так как x = nq+r+a, 0 Ј r < n, a = {x}, то

é

ê

ë

[x]

n

ù

ú

û

=

é

ê

ë

nq+r

n

ù

ú

û

=

é

ê

ë

q+

r

n

ù

ú

û

= q

é

ê

ë

x

n

ù

ú

û

=

é

ê

ë

nq+r+a

n

ù

ú

û

=

é

ê

ë

q+

r+a

n

ù

ú

û

= q.

Теперь, познакомившись с целой и дробной частью, можно рассмотреть следующий

Пример 1. Доказать, что для всех вещественных a и b выполняется неравенство

[a]+[a+b]+[b] Ј [2a]+[2b].

Решение.

Пусть [a+b] = [a]+[b]+e3; [2a] = 2[a]+e1; [2b] = 2[b]+e2; где ei- целое. Покажем, что e3 равно 0 или 1. Имеет место неравенство

-1 = a+b-1-a-b < [a+b]-[a]-[b] < a+b-a+1-b+1 = 2.

Отсюда получаем, что -1 < e3 < 2, откуда e3 = 0 или e3 = 1, то же верно для e1, e2. Рассмотрим разность

[2a]+[2b]-[a]-[b]-[a+b] = [a+a]+[b+b]-[a]-[a+b]-[b] =
= [a]+[a]+e1+[b]+[b]+e2-[a]-[a]-[b]-e3-[b] = e1+e2-e3.

Осталось показать, что e1+e2-e3 і 0, ei = 0 или 1. Это неравенство может быть нарушено только при e1 = e2 = 0 и e3 = 1. Покажем, что это невозможно. Если e1 = 0 то [2a] = 2[a], т.е. a = N+d, где N- целое, а 0 Ј d < 0,5, аналогично, b = K+l, где K- целое, а 0 Ј l < 0,5, но тогда [a+b] = N+K = [a]+[b], т.е.e3 = 0. Мы пришли к противоречию, следовательно [a]+[a+b]+[b] Ј [2a]+[2b], что и требовалось доказать.

Пример 2. Найдите

lim

n®Ґ

{(2+Ц2)n}.

Решение

Число Nn = (2+Ц2)n+(2-Ц2)n является целым при любом натуральном n. Поэтому

lim

n®Ґ

{(2+Ц2)n} =

lim

n®Ґ

{Nn-(2-Ц2)n} =

lim

n®Ґ

{-(2-Ц2)n} =

lim

n®Ґ

(1-{(2-Ц2)n}) = 1,

так как {-z} = 1-{z}, если z- не целое число, и |2-Ц2| < 1.

Пример 3. Найдите [x], если x=1+(1/2)2+(1/3)2+...+(1/1997)2.

Решение

Для любого натурального числа n і 2 справедлива оценка

1

N2

<

1

n(n-1)

=

1

n-1

-

1

n

.

Применим эту оценку ко всем слагаемым числа x, начиная со второго:

x < 1+

æ
ç
è

1-

1

2

ö
÷
ø

+

æ
ç
è

1

2

-

1

3

ö
÷
ø

+...+

æ
ç
è

1

1996

-

1

1997

ö
÷
ø

= 2-

1

1997

< 2.

Так как 1 < x < 2, то [x] = 1.

Графики антье

Наверно вы уже где-нибудь встречали графики функции y=[x], так называемые "ступени", и y={x}- "забор"; оба графика приведены на рисунках ниже.

<>

<>

Рассмотрим общий метод построения графиков функций y=[f(x)], y=f([x]), y={f(x)}, y=f({x}).

Построение графика функции y=[f(x)].

Итак, пусть график функции y=f(x) построен (рисунок ниже слева черным цветом). Построение графика функции y=[f(x)] выполняют в следующем порядке:

<>

<>

1) проводят прямые y= n (n ОZ) и рассматривают одну из полос, образованных прямыми y=n и y=n+1;

2) точки пересечения прямых y=n, y=n+1 с графиком функции y=f(x) будут принадлежать графику функции y=[f(x)], поскольку их ординаты- целые числа; другие точки графика y=[f(x)] в рассматриваемой полосе получим как проекцию части графика y=f(x) на прямую y=n, поскольку любая точка этой части графика функции y=f(x) имеет такую ординату y1, что n Ј y1 < n+1, т.е. [y1] = n;

3) в каждой другой полосе, где есть точки графика функции y=f(x), построение проводится аналогично.

Пример построения графика для конкретной функции приведен на рисунке справа (График функции y=[arcsinx] выделен красным цветом).

Построение графика фунции y=f([x]).

Пусть график функции y=f(x) построен (рисунок слева ниже черным цветом). Построение графика функции y=f([x]) выполняют в следующем порядке:

<>

<>

1) проводят прямые x=n (n ОZ) и рассматривают одну из полос, образованную линиями x=n, x=n+1;

2) точки пересечения графика функции y=f(x) с прямыми y=n принадлежат графику функции y=f([x]), поскольку их абсциссы- целые числа; другие точки графика функции y=f([x]) в рассматриваемой полосе получим как проекцию части графика функции y=f(x), которая находится в этой полосе, на прямую y=f(n), поскольку любая точка этой части графика имеет такую абсциссу x1, что n Ј x1 < n+1, т.е. [x1]=n;

3) в каждой другой полосе, где есть точки графика функции y=f(x), построение производится аналогично.

Пример построения графика для конкретной функции приведен на рисунке справа (График функции y=[ax]2 выделен красным цветом).

Построение графика фунции y={f(x)}.

Теперь рассмотрим метод построения графика функции y={f(x)}, а так как {f(x)}=f(x)-[f(x)], то вместо графика функции {f(x)} строят разность графиков функций y = f(x) и y = [f(x)]. График на левом рисунке выделен красным цветом.

<>

Практически это построение выполняют так: 1) строят график функции y=f(x) и проводят прямые y=n (n ОZ);

2) в точках пересечения этих прямых с графиком функции y=f(x) проводят прямые, параллельные оси ординат. Значения функции y={f(x)} попадают в образованные прямоугольники. Части графика функции y = f(x), которые попали в эти прямоугольники и располагаются в верхней полуплоскости, опускают вниз на расстояние n. Части графика функции, попавшие в нижнюю полуплоскость переносят вверх на расстояние |n|+1.

Пример построения графика для конкретной функции приведен на рисунке справа. (График функции y={ax} выделен красным цветом).

Построение графика фунции y=f({x}).

Проще всего строятся графики функции y=f({x}). Легко заметить, что такие функции периодичны с периодом T=1, и на отрезке [0;1] f({x})=f(x). Отсюда следует способ построения графика функции y=f({x}):

1) строят график функции y=f(x) на [0;1);

2) продолжают этот график, учитывая свойство периодичности функции y=f({x}) и y=1/x2.

Другие материалы

  • Влияние социального окружения на духовное развитие
  • ... поведінки. Кожне суспільство культурно впливає на його членів, це все ще й супроводжується все життя. Можливе оволодіння культурою збагачує людину, розширює їх духовні обрії. В наш час критерії поведінки людини деформуються, в людях починають цінувати такі якості, як гнучкість поведінки, готовність ...

  • Система дистанционного контроля акустического окружения (шумомер)
  • ... і. У даному розділі приводиться технічно-економічне обґрунтування дипломної роботи - розрахунок собівартості науково-дослідної роботи (система дистанційного контролю акустичного оточення). На основі даних, отриманих при розрахунку, можна буде зробити висновок про доцільність подальшого розгляду ...

  • Организационное зеркало: групп-аналитический подход к оргконсультированию
  • ... искажающий эффект, что создаёт или вносит вклад в организационную дисфункцию. Целью организационного зеркала поэтому является идентифицировать патологические резонансы и искажения, которые вредят способности группы и индивидуума конструктивно адаптироваться к ролям и задачам, которые от них требуют ...

  • Восточные славяне
  • ... участвовали и анты, свидетельствуют об этом византийские источники. Кроме того, византийские историки чаще всего называли антов, в последующем всех восточных славян, аварами и даже гуннами, не делая между ними различия. С 602 г. в византийских источниках не упоминается имя антов, что связано, скорее ...

  • История Татарстана с древнейших времен до наших дней
  • ... вопросах возвращения народу его дореволюционного культурного наследия. В 1955—1960 гг. появилось двухтомное изложение истории татарского народа с древнейших времен под общим названием "История Татарской АССР". Стало возможным официальное употребление понятия "Татарстан" (Татария ...

  • Литература - Другое (клиника, диагностика, лечение некоторых форм)
  • ... Все это необходимо учитывать при диагностике и лечении атопического дерматита у пациентов разных возрастных группК л и н и ч е с к и е ф о р м ы а т о п и ч е с к о г о д е р м а т и т а. Единой классификации форм атопического дерматита в литературе нет. Многие авторы, в зависимости от возраста ...

  • Современные проблемы здоровья женщин и детей
  • ... плода. Таким образом, роды у женщин с узким тазом представляют большую сложность для акушера и требуют от него высокого профессионализма. АНОМАЛИИ РОДОВОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ Патология сократительной деятельности матки является актуальной проблемой современного практического акушерства. Это ...

  • Створення бізнес–моделі підприємства за допомогою комп’ютерного комплексу Project Expert
  • ... і збуту одного продукту від інших за допомогою «Формули»   Рис.6. Опис виробництва в Project Expert Система дозволяє описати графік виробництва і різні види витрат, зв’язавши складною математичною залежністю обрані параметри фінансової моделі підприємства, наприклад, при моделюванні ...

  • Антология культурологии
  • ... деятельности и уровнем смертности каждого из полов, богатство, престиж и т.д. Нет и не может быть никаких оснований для конфликта между наукой психологией и наукой культурологией; эти науки скорее дополняют друг друга, а не конфликтуют между собой. Обе они важны для полного осмысления всего, что ...

  • Расцвет Киевской Руси
  • ... полководцем, одержавшим ряд блестящих побед, он, однако, не смог должным образом оценить опасность для Руси со стороны печенегов.   4. Эпоха расцвета Киевской Руси. Государственное управление в Киевской Руси после смерти Святослава оставалось некоторое время таким, каким оно сложилось при его жизни ...

  • Славянское жречество и его проявления
  • ... - "Трипетович" - в архаичном слое славянского фольклора, сохраненном в волшебных сказках, и наличие его в только что зарождавшемся в IX - X вв. новом жанре былин определенно говорит о восприятии этого элемента русским жречеством в эпоху возобновившихся контактов с черноморско-дунайскими ...

  • Курс социологии
  • ... . Однако все больше образ мыслей первого советского профес­сора социологии не устраивает власти. В это же время Ленин остро ставит вопрос о необходимости коммуни­стического контроля над программами и содержанием курсов по общест­венным наукам. «Буржуазную» профессуру стали постепенно отстранять от ...

Каталог учебных материалов

Свежие работы в разделе

Наша кнопка

Разместить ссылку на наш сайт можно воспользовавшись следующим кодом:

Контакты

Если у вас возникли какие либо вопросы, обращайтесь на email администратора: admin@kazreferat.info

<>